Итак, Обобщенная группа когомологий Де Рама тривиальна. Идет перевод

На физический язык заключаем, что функционал действия (D.3)

Не определяет никаких динамических проблем.

Стр. Решебника 436

Библиография

[1] Эйнштейн, А.: Смысл теории относительности. Пятое издание: Включая

Релятивистская теория несимметричного поля. Принстон (1955)

[2] Уиттакер, ET, Уотсон, GN: курс современного анализа. Cam-

Мост University Press (1963)

[3] Бурланков Д.Е. Локальная структура функциональных пространств и динамический

переменные калибровочно-инвариантных полей. Теор. Математика. Phys. 39, 293 (1979)

[4] Бурланков Д.Е., Павлов А.Е. Вариационные формы и двухкомпонентные формы.

Размерная R 2 -гравитация. Int. J. Mod. Физика. А 4, 5177 (1989)

[5] Павлов А.Е. Двумерная R n гравитация. Int. J. Theor.

Физика. 36, 2107 (1997)

[6] Погорелов А.Б. Дифференциальная геометрия. Наука, Москва (1969)

[7] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т.: Современная геометрия.

Методы и приложения. Наука, Москва (1986)

[8] Олвер, П.: Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.

Спрингер, Нью-Йорк (1986)

436

Стр. Решебника 437

Приложение E

Динамика

Миксмастер модель

E.1 Динамика модели Мизнера

Метрика модели mixmaster [1 ]:

ds

2

= N

2

dt

2 - e 2 α (e 2 β) ij

ω

я

ω

j

,

(E.1)

Где дифференциальные формы

ω 1 = sin ψ d θ - cos ψ sin θ d φ,

ω 2 = cos ψ d θ + sin ψ sin θ d φ,

(E.2)

ω 3 = - (d ψ + cos θ d φ)

выражаются через углы Эйлера (ψ, θ, φ) на группе SO (3). В

Структурные константы соответствующей алгебры, поэтому (3) появляются в

Связи

d ω я =

1

2

ǫ ijk ω i ∧ ω j.

437

Стр. Решебника 438

E. Приложение 438

Симметричную бесследовую матрицу (β) ij можно представить в виде

(β) ij = diag (β + + β -

√ 3, β + - β -

√

3, − 2 β +),

где β +, β -

- две амплитуды поля как обобщенные координаты.

Космологическая модель Мизнера не принадлежит полностью

интегрируемые системы [2 ]. Это пример псевдоевклидовой генерации.

цепочки Тоды на уровне энергии H = 0 [ 3]. Гамильтониан имеет

Форма

H =

1

2 (− p

2

α + p 2

+ + п 2

-

) + ехр (4 α) V (β +, β -

),

(E.3)

где потенциальная функция V (β +, β -

) является экспоненциальным многочленом:

V (β +, β -) = ехр (− 8 β +) + ехр (4 β + + 4 √ 3 β -

) + ехр (4 β + - 4

√ 3 β

- ) -

− 2 ехр (4 β +) - 2 ехр (− 2 β + + 2 √ 3 β -) - 2 ехр (− 2 β + - 2

√ 3 β

-

).

Гамильтониан обобщенной цепочки Тоды имеет вид

H =

1

2

<p, p> +

N

∑

я = 1

С я в я,

(E.4)

где <,> - скалярное произведение в пространстве Минковского R 1, n − 1, c i - некоторые

действительные коэффициенты, v i ≡ exp (a i, q), (,) - скалярное произведение в евклидовом

пространство R n, а a i - вещественные векторы. Для рассматриваемой модели mixmaster:

n = 3, N = 6. Псевдоевклидность импульсного пространства является отличительной чертой

Особенность гравитационных задач, поэтому их нельзя назвать

Задачи аналитической динамики, где соответствующая форма квадратичной

В импульсах - кинетическая энергия.

Стр. Решебника 439

E. Динамика модели mixmaster

439

E.2 Показатели Ковалевского

С другой стороны, космологические модели можно рассматривать как ди-

динамические системы [ 4]. Так что можно проводить строгие методы

Анализ, традиционно используемый в аналитической механике, и принять их

Системам, подобным (E.3). Применим тест Пенлеве для вычисления Ко-

показатели Валевского [5 ]. Был введен термин «показатели Ковалевского».

в статье [6 ], отмечая выдающийся вклад российского

Женщина к решению важной проблемы интеграции жестких

Вращение тела.

Расширение 2n-мерного фазового пространства до 2N-мерного

один по гомеоморфизму (p, q) ↦ → (v, u):

v i ≡ exp (a i, q),

U я ≡ < а я, р>,

я = 1,..., N,

(E.5)

Получается гамильтонова система, уравнения движения которой являются автоматическими

однородные дифференциальные уравнения с полиномиальной правой частью:

˙ v i = u i v i, ˙ u i =

N

∑

j = 1

M ij v j,

я = 1,..., N.

(E.6)

Матрица

ˆ

M строится из скалярных произведений векторов a i в

Пространство Минковского R 1, n − 1:

M IJ ≡ -c J <а я, A J >.

Система уравнений (E.6) квазиоднородна. Сила

Квазиоднородность по переменным u i равна единице, а по v i - двум. Недвижимость

Интегрируемости динамической системы проявляется в характере сингулярности.

Особенности решений, поэтому только особые точки представляют особый интерес

Стр. Решебника 440

E. Приложение 440

Для расследования. Дифференциальные уравнения имеют следующие частные

мероморфные растворы:

u i =

U я

т

,

v я =

V я

Т 2

,

я = 1,..., N,

(E.7)

Коэффициенты U i, V i удовлетворяют системе алгебраических уравнений

2V i = U i V i,

− U i =

N

∑

j = 1

M ij V j.

Теперь проанализируем специальные типы решений. Пусть V 1 = 0,

rest V 2, V 3,..., V N = 0, то получаем решение: если M 11 = 0, то

V 1 =

2

П 11

, U 1 = − 2, U 2 = -

М 21

V 11

,..., U N = -

М N1

П 11

.

Аналогично будут получены последние решения. Если для некоторого i: V i = 0,

и V j = 0 для всех j = i, то при M ii = 0 получаем

U i = − 2,

U j = − 2M ji / M ii

Для всех

я = j.