Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема безу.
Пусть - непустое множество, на котором заданы две бинарные операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим условиям: 1) Структура есть абелева группа, то есть сложение коммутативно и ассоциативно, существует нейтральный элемент (ноль) по сложению и для любого существует единственный противоположный к нему элемент. 2) Структура есть полугруппа, то есть умножение ассоциативно; 3) Операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: Структура и для любых . Тогда алгебраическая структура называется кольцом. Пусть - произвольное кольцо с единицей . Многочленом над назовем любую бесконечную последовательность элементов , в которой все , за исключением конечного их числа, равны нулю. Элементы назовем коэффициентами многочлена. Многочлен назовем нулевым. Обозначим через множество всех таких последовательностей. Номер последнего ненулевого члена последовательности назовем степенью многочлена и обозначим . Суммой многочленов называют последовательность , в которой для всех . Произведением многочленов называют последовательность , в которой для всех . Произведением многочлена на элемент слева или справа называют, соответственно, последовательность или . Суммой элемента и многочлена называют последовательность . Во всех последовательностях в вышеприведенных определениях, так же как и в исходных последовательностях, все коэффициенты, за исключением конечного их числа, равны нулю, и потому эти последовательности принадлежат . Используя заданные на операции, можно перейти к традиционной форме записи многочленов. Введем обозначения: , для . Заметим, что ввиду определения произведения многочленов для любых выполняются равенства: Поэтому для любых верны равенства и для символ обозначает ни что иное, как -ю степень элемента : . Пользуясь определением произведения многочлена на элемент множества , получаем, что для любых и верны равенства , и поэтому любой многочлен может быть записан в виде суммы: Последнюю запись многочлена можно еще упростить, записав его в общепринятом виде: . При введенных обозначениях многочлен называют многочленом от над кольцом ,а элементы называют его коэффициентами. Говорят, что - коэффициент многочлена при , а - его свободный член. Множество называют множеством многочленов от одного переменного над кольцом и обозначают: .
Алгебра многочленов над кольцом с единицей есть кольцо с единицей. Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда кольцо коммутативно, и содержит делители нуля тогда и только тогда, когда содержит делители нуля. Говорят, что элемент кольца делится на элемент слева (справа), если в разрешимо уравнение . Однако если - кольцо многочленов над кольцом с единицей, то в можно ввести понятие делимости с остатком и предложить алгоритм, который позволяет проверить, делится один многочлен на другой или нет. Говорят, что в кольце многочлен делится на многочлен справа с остатком, если существуют многочлены со свойствами , . //(deg – обозначение степени многочлена) При этом многочлены и называют, соответственно, неполным правым частным и правым остатком от деления на . Аналогично определяется понятие делимости на слева с остатком. Если старший коэффициент многочлена обратим в кольце , то любой многочлен можно разделить справа (слева) с остатком на . При этом правые (левые) неполное частное и остаток определяются однозначно. Если - поле и , то любой многочлен можно разделить с остатком на и притом единственным способом. Значением многочлена из в точке называют элемент кольца . Говорят, что - корень многочлена , если . Данное определение позволяет поставить в соответствие каждому многочлену функцию , определяемую условием . Очевидно, что значение суммы двух многочленов в любой точке равно сумме их значений. Для произведения многочленов аналогичное утверждение верно не всегда. Если , и элемент перестановочен со всеми коэффициентами правого множителя , то . При сформулированном условии верны равенства . Теорема Безу. Остаток от деления справа многочлена на двучлен равен . В частности, элемент кольца является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится справа на . Доказательство. //(хз надо или нет) можно разделить справа с остатком на : , . Тогда , где , и . Так как для многочлена верно равенство , то . В частности, равенство эквивалентно равенству , а последнее эквивалентно тому, что делит справа .
Кольца матриц. Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа m, n наз. порядком матрицы. Если m=n, матрица называется квадратной. Множество квадратных матриц порядка n относительно операции сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е – единичной матрицей, при n>1 оно некоммутативно. Операции над матрицами: Сложение матриц обладает переместительным свойством: А + В = Б + А; и сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Умножение матрицы на число обладает 1)сочетательным свойством относительно числового множителя: 2)распределительным свойством относительно суммы матриц: 3)распределительным свойством относительно суммы чисел: Матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было = числу строк матрицы В. Для того чтобы оба произведения А *B и B*A были определены необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и В были квадр матрицами одного и того же порядка.
Определители Кольцо коммутативно если а*b=b*a – умножение коммутативно Коммутативное Кольцо с единицей если существует 1ЄМ а*1=1*а=а
Если порядок матрицы равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента и определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок матрицы равен двум, то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное и обозначаемое одним из символов . Итак, по определению (1.10) Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы.
Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка п, где Понятие такого определителя мы введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя порядка п — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка п — 1. Договоримся называть минором любого элемента матрицы n-го порядка (1.8) определитель порядка п — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний — номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка п,, назовем число, равное Итак, по определению . (1.12) Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка п по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов первой строки, являющимися определителями порядка п — 1. К – кольцо с единицей. Элемент а называется обратимым, if существует такой элемент а-1, для которого аа-1=а-1а=1.
Понятие обратной матрицы. Пусть А —квадратная матрица n-го порядка, а Е — единичная квадратная матрица того же порядка Матрица В называется правой обратной по отношению к матрице А, если АВ = Е. Матрица С называется левой обратной по отношению к матрице А, если С А = Е. Теорема. Для того, чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель det А матрицы А был отличен от нуля. Замечание 1. Квадратную матрицу А, определитель det А которой отличен от нуля, принято называть невырожденной.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 692; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.213.196 (0.038 с.) |