Непрерывность функции. Односторонние пределы

Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также

 

                                                                              (1.12)

 

Точки, в которых равенство (1.12) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х ₂ – х ₁, а за D f (x) разность между двумя значениями функции D f (x) = f (x ₂) - f (x ₁). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если D х ® 0, то и D f (x) ® 0.

Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f (x) слева, если х ® x ₀ оставаясь все время меньше х ₀ (x < x ₀). Запись предела слева

 

 

 

Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае х ® x ₀ оставаясь все время больше х ₀ (x > x ₀). Запись предела справа

 

 

 

Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х ₀

 

= = f (x ₀).

 

В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х ₀, то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.

Все элементарные функции, а также любая их комбинация непрерывны в своей области определения.

Пример 1. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах ,  и  функция непрерывна. Проверке подлежат только точки  и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны  ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку . .

Вычислим односторонние пределы

 

, .

 

Так как односторонние пределы не совпадают,  - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку . ,

 

, ,

 

 - точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 1.3).

 

 

Рис. 1.3.

 

Пример 2. Исследовать поведение функции    вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

Рис. 1.4. Поведение функции в окрестности точки разрыва.

Точка разрыва . Найдем односторонние пределы

 

; . 

 

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю,  знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 1.4.

 

 

Производные и дифференциалы