Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение первообразной. Определение определенного интеграла. Вычисление неопределенного интеграла
Функция F (x), производная которой равна функции f (x), т.е.
F ¢(x) = f (x) (4.1)
называется первообразной для f (x). Так, например, если , то ее первообразная есть , так как , .
Если же f (x) = sin (2 x), то ее первообразная F (x) = - 0.5 cos(2 x), так как
.
Теорема. Пусть F 1(x) и F 2(x) две разные первообразные одной и той же функции f (x) на промежутке [ a, b ]. Тогда разность между ними есть постоянная величина С. Доказательство. Обозначим за Ф(х) разность между F 2(x) и F 1(x), т. е. Ф(х) = F 2(x) - F 1(x) и возьмем производную от функции Ф(х)
(4.2) Единственной функцией, производная которой при любом значении х равна нулю, есть постоянная величина, следовательно Ф(х) = const ≡ C и F 2(x) = F 1(x) + С. (4.3)
Следствие. Функция f (x) имеет бесконечное множество первообразных { F (x)}, отличающихся на постоянную величину, т.е. { F (x)}= F (x) + C. Пример. Для f (x) = sin(2x) первообразной будет не только функция F (x) = – 0.5 cos(2 x), но и функция F (x) = – 0.5 cos(2 x) +4, F (x) = – 0.5 cos(2 x) -1, и. вообще, любая функция вида F (x) = – 0.5 cos(2 x) + C
Множество всех первообразных { F (x)} функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так
, (4.4)
где ò - знак интеграла, читается “интеграл”, f (x) - подынтегральная функция от переменной интегрирования х, f (x)d x - подынтегральное выражение, C - постоянная интегрирования. Из определения интеграла следует, что Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции. Действительно
()¢ = (F (x) + C)¢ = F ¢(x) + 0 = f (x). (4.5)
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. Действительно, так как d F = F ¢(x)d x, получим
d () = ()¢ d x = f (x) dx. (4.6)
Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной. Действительно, пусть F (x) - первообразная для функции f (x) (т.е. F ¢(x) = f (x)). Тогда
(4.7)
Формулы (4.5 – 4.7) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В этой связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций можно построить таблицу основных интегралов. Линейные свойства неопределенного интеграла. Интеграл о суммы функций равен сумме интегралов.
(4.8)
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
(4.9)
Справедливость равенств (4.8) и (4.9) проверяется дифференцированием. Возьмем производную от левой и правой части равенства (4.8) и проверим, что они совпадают. По правилу (4.5)
Если совпадаю производные, то и первообразные равны с точностью до постоянной. Равенство (4.9) доказывается аналогично. Основные простейшие интегралы сведены в табл. 3. Пример. Найти . Решение. Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде, используя основное логарифмическое тождество (1 = sin2 x + cos2 x), разделим почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы:
=
Т а б л и ц а 3. Таблица основных интегралов
|
|||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 57; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.112.203 (0.01 с.) |