Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и первая производная этой функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F (x, y, y ¢) = 0. (6.7)
Здесь F - заданная функция трех аргументов. Она может не зависеть от x или y (или от обеих переменных), но должна содержать y ¢. Если уравнение (6.7) разрешить относительно y ¢, то получим разрешенный вид
y ¢ = f (x, y), (6.8)
где f - заданная функция от x и y или правая часть уравнения (6.8). В дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения в разрешенном виде. Решение дифференциального уравнения (6.8) - это функция y = φ (x), которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
.
Пример 1. Дано уравнение y ¢ + y ctg x - 2 cos x = 0. Покажем, что функция y = sin x является его решением. Для этого подставим в данное уравнение вместо y и y ¢ функции sin x и (sin x)¢ = cos x. Получим
cos x + sin x ctg x - 2cos x = cos x + cos x - 2cos x º 0.
Уравнение обратилось в тождество. Функция
y = j (x, C) (6.9)
называется общим решением уравнения (6.7), если она является решением этого уравнения при всех значениях произвольной постоянной C. Если общее решение задано в неявном виде j (x, y, C) = 0, то оно называется общим интегралом. Частное решение уравнения (6.7) - это решение, которое получается из общего (6.9) при конкретном значении C. Для дифференциального уравнения (6.7) задача Коши формулируется так: среди всех решений уравнения найти решение y = y (x), удовлетворяющее условию
(6.10)
где x 0, y 0 - заданные числа. Условие (6.10) называется начальным условием, а числа x 0, y 0 - начальными значениями.
Уравнения с разделяющимися переменными - это уравнение, правая часть которого f (x, y) есть произведение двух сомножителей f (x) и g (y), каждый из которых зависит только от одной переменной
y ¢ = f (x) ∙ g (y). (6.11)
Уравнения с разделяющимися переменными интегрируются следующим образом: y¢ заменяется на , затем умножаются обе части (6.11) на . Получим:
(6.12)
Дифференциалы переменных x и y, и соответствующие функции стоят отдельно, т. е переменные отделены. Если обозначить G (y) = , F (x) = , то уравнение (6.12) можно переписать в виде
dG (y) = dF (x).
Так как из равенства дифференциалов двух функций следует, что сами функции отличаются на произвольное постоянное слагаемое, то
G (y) = F (x) + C или . (6.13)
Выражение (6.13) представляет собой общий интеграл уравнения (6.11). Вычислив интегралы в (6.13), получим решение исходного уравнения Пример 2. Решить уравнение . Решение. Разрешим уравнение относительно y ¢: Здесь f (x) = -1/ х, а g(y) = y. Заменим в этом уравнении y ¢ на и умножим обе части уравнения на . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим
,
где C 1 - произвольная постоянная. Отсюда следует ответ: l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + C1. В данном случае удобно вместо C 1 написать C 1 = l n C 2 (C 2 > 0). Тогда l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + l n C 2 или Так как ±C2 принимает любые значения, то обозначая ±C2 = C, окончательно получим где C - произвольная постоянная. Эта формула и дает общее решение заданного уравнения. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальному условию y ½ x =4 = . Для этого в равенство подставим вместо x и y значения 4 и . Получим . Отсюда следует, что C = 2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции y(x) и ее производной y¢(x). В общем случае оно имеет вид
y ¢ + p (x) y = f (x). (6.14)
Если f (x) º 0, то уравнение называется линейным уравнением без свободного члена (правой части) или линейным однородным уравнением. Итак,
y ¢ + p (x) y = 0
линейное однородное уравнение (оно же уравнение с разделяющимися переменными). Если f (x) ¹ 0, то уравнение (6.14) называется линейным неоднородным уравнением. Например, уравнение y ¢ - y cos2 x = х 2 является линейным неоднородным уравнением. Однородное по отношению к нему будет уравнение y ¢ - y cos2 x = 0. Уравнение (6.14) можно интегрировать разными методами. Мы рассмотрим метод Бернулли. Он состоит в следующем. В уравнении (6.14) делаем замену:
y = u (х) ∙ v (х). (6.15)
Дифференцируя по правилу «производная произведения двух функций», имеем
y ¢ = u ¢ (х) ∙v (х) + u (х) ∙ v ¢ (х) (6.16)
Подставим в уравнение (6.14) вместо y и y ¢ их выражения из (6.15) и (6.16), получим
u ¢ (х) v (х) + u (х) v ¢ (х) + p (х) u (х) v (х) = f (х)
или u ¢ v + u [ v ¢ + p(x)v ] = f (х) . (6.17) Так как одну из функций в (6.17) можно выбрать произвольно, то функцию v выберем таким образом, чтобы коэффициент при u обратился в нуль, т.е.
v ¢ + p (x) v = 0. (6.18)
Уравнение (6.18) относительно функции v (x) является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому из (6.18) имеем:
Интегрируя, находим
Так как функция v - это любая функция, удовлетворяющая (6.18), то полагаем C = 0. Итак,
ln (v) = - Þ . Представляя найденную функцию v (x) в уравнение (6.17), получим
Отсюда следует
Интегрируя, получим
(6.19)
где C - произвольная постоянная. Для того, чтобы найти y (x), умножим найденную u (x) на v (x):
(6.20)
Формула (6.20) дает общее решение дифференциального уравнения (6.14). Пример. Найти общее решение уравнения . Решение. Это линейное неоднородное уравнение, где Выполнив замену y = u ∙ v, получаем y ¢ = u ¢ v + uv ¢. Заданное дифференциальное уравнение перепишем в виде или . Приравняем выражение в скобках нулю:
.
Получили уравнение для функции v (x) - уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:
Подставляя функцию v (x) в уравнение, найдем уравнение для функции u (x): u ¢(x 2 + 3) = (x 2 + 3) cosx. Отсюда следует u ¢ = cos(x) или u = Þ u = sin(x) + C. Теперь находим общее решение заданного уравнения y (x): y = uv Þ y = (sin (x) + C)∙(x 2 + 3).
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 51; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.109.213 (0.024 с.) |