Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Содержание книги
- Практических работ по математике
- Критерии оценивания практических работ
- Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами
- Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому
- Решение логарифмических уравнений
- Геометрия раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве
- Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол
- Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний
- Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми
- Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями
- Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве
- Скалярное произведение векторов
- Использование векторов при решении математических и прикладных задач
- Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой
- Основные тригонометрические тождества
- Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума
- Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций
- Степенная функция, ее график и свойства
- Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики
- Геометрия раздел 8. Многогранники и круглые тела
- Усеченная пирамида. Тетраэдр
- Сечения куба, призмы и пирамиды
- Практическое занятие Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре)
- Объем и его измерение. Интегральная формула объема
- Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
- Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
- Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере
- Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
- Раздел 10. Интеграл и его применение
- Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей
- Дискретная случайная величина, закон ее распределения
- Понятие о законе больших чисел .
- Решение практических задач с применением вероятностных методов
- Уравнения и системы уравнений
- Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств
- Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики
Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком
Цель работы:
обучающийся должен:
знать:
- общую схему построения графиков функций;
уметь:
- исследовать функцию с помощью первой, второй производной;
- строить графики функций.
Сведения из теории:
Общая схема построения графиков функций:
1) найти область определения функции;
2) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
3) найти промежутки монотонности функции и экстремумы функции;
4) найти промежутки выпуклости и точки перегиба;
5) построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Пример 1. Исследовать функцию  и построить ее график.
Решение: 1) Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х. Поэтому область определения функции – вся числовая прямая.
2) Вычислим точки пересечения графика функции с осями координат: график функции у =(х +1)·(х –2)2 пересекает ось О х при у =0, т. е. (х +1)·(х –2)2=0;
х +1=0 или (х –2)2=0; х =-1 или х =2.
График функции у =(х +1)·(х –2)2 пересекает ось О у при х =0, т. е.
у =(0+1)·(0–2)2=1·4=4.
Т.о. мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).
3) Найдем промежутки монотонности функции и ее экстремумы с помощью первой производной: у’ =((х +1)·(х –2)2) ’ =3 х ·(х –2).
Из уравнения у ¢ =0 найдем критические точки: 3 х ·(х –2)=0; х 1=0, х 2=2.
Результаты решения занесем в таблицу:
Функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2: у max= у (0)=4; у min= у (2)=0.
4) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба с помощью второй производной: у ¢¢ =(3 х ·(х –2)) ’= 6·(х -1).
Кривая выпукла там, где у ¢¢ < 0, т. е. 6·(х –1) < 0, х < 1.
Кривая вогнута там, где у ¢¢ > 0, т. е. х > 1.
На интервале (–∞, 1) кривая выпукла; на интервале (1, +∞) – вогнута.
Точку перегиба найдем из уравнения у ¢¢ =0. Т. о., х =1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у (1)=2.
Результаты решения занесем в таблицу:
| х
| (–∞, 1)
| 1
| (1; +∞)
| | у ¢¢
| -
| 0
| +
| | у
| 
| 2
| 
| | выпукла
| перегиб
| вогнута
| 5) По полученным точкам строим график:
Задания для самостоятельного решения:
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
1 вариант
 .
| 2 вариант
 .
| 3 вариант
 .
| 4 вариант
 .
| 5 вариант
 .
| 6 вариант
 .
| 7 вариант
 .
| 8 вариант
 .
| 9 вариант
 .
|
Контрольные вопросы:
1. Что называется областью определения и областью значений функции?
2. Приведите примеры применения первой производной к исследованию функции.
3. Приведите примеры применения второй производной к исследованию функции.
4. Расскажите общую схему исследования и построения графика функции.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
|
