Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком Цель работы: обучающийся должен: знать: - общую схему построения графиков функций; уметь: - исследовать функцию с помощью первой, второй производной; - строить графики функций.
Сведения из теории: Общая схема построения графиков функций: 1) найти область определения функции; 2) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 3) найти промежутки монотонности функции и экстремумы функции; 4) найти промежутки выпуклости и точки перегиба; 5) построить график функции, используя полученные результаты исследования. Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график. Решение: 1) Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х. Поэтому область определения функции – вся числовая прямая. 2) Вычислим точки пересечения графика функции с осями координат: график функции у =(х +1)·(х –2)2 пересекает ось О х при у =0, т. е. (х +1)·(х –2)2=0; х +1=0 или (х –2)2=0; х =-1 или х =2. График функции у =(х +1)·(х –2)2 пересекает ось О у при х =0, т. е. у =(0+1)·(0–2)2=1·4=4. Т.о. мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4). 3) Найдем промежутки монотонности функции и ее экстремумы с помощью первой производной: у’ =((х +1)·(х –2)2) ’ =3 х ·(х –2). Из уравнения у ¢ =0 найдем критические точки: 3 х ·(х –2)=0; х 1=0, х 2=2. Результаты решения занесем в таблицу:
Функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2: у max= у (0)=4; у min= у (2)=0. 4) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба с помощью второй производной: у ¢¢ =(3 х ·(х –2)) ’= 6·(х -1). Кривая выпукла там, где у ¢¢ < 0, т. е. 6·(х –1) < 0, х < 1. Кривая вогнута там, где у ¢¢ > 0, т. е. х > 1. На интервале (–∞, 1) кривая выпукла; на интервале (1, +∞) – вогнута. Точку перегиба найдем из уравнения у ¢¢ =0. Т. о., х =1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у (1)=2. Результаты решения занесем в таблицу:
5) По полученным точкам строим график:
Задания для самостоятельного решения: Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
Контрольные вопросы: 1. Что называется областью определения и областью значений функции? 2. Приведите примеры применения первой производной к исследованию функции. 3. Приведите примеры применения второй производной к исследованию функции. 4. Расскажите общую схему исследования и построения графика функции.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 240; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.72.91 (0.005 с.) |