Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для решения тригонометрических уравнений в общем виде и частные случаи решения;

уметь:

- решать простейшие тригонометрические уравнения.

Сведения из теории:

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение cos t = a

Очевидно, что если | а |>1, то уравнение cos t = a не имеет решений, т.к. | cos t |≤1 для любого t.

Пусть | а |≤1. Надо найти все такие числа t, что cos t = a. На отрезке [0; π] существует только одно решение уравнения cos t = a – это число ar с cos a.

Косинус – четная функция, и, значит на отрезке [-π; 0] уравнение также имеет единственное решение – это число – ar с cos a.

Итак, уравнение cos t = a на отрезке [-π; π] длиной 2π имеет два решения t =± ar с cos a (совпадающие при а =1).

Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от найденных на 2π n, (n Є Z), т.е. формула корней уравнения cos t = a имеет вид:

t =± ar с cos a +2π n, (n Є Z).

Пример 1. Решите уравнение: cos t =1/2.

Решение: по формуле t =± ar с cos (1/2)+2π n, (n Є Z).

Поскольку ar с cos (1/2)=π/3 приходим к ответу t =± π/3+2π n, (n Є Z).

Пример 2. Решите уравнение: cos t =-0,2756.

Решение: по формуле t =± ar с cos (-0,2756)+2π n, (n Є Z).

Значение ar с cos (-0,2756) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 1,85.

Итак, приходим к ответу t =±1,85+2π n, (n Є Z).

Пример 3. Решите уравнение: cos (2 х -π/4)=1/2.

Решение: по формуле

2 х -π/4=± ar с cos (1/2)+2π n, (n Є Z).

Поскольку ar с cos (1/2)=π/3 получаем

2 х -π/4=± π/3+2π n, (n Є Z)

2 х =π/4± π/3+2π n, (n Є Z).

Разделив обе части уравнения на 2 получим ответ: х =π/8±π/6+π n, (n Є Z).

Уравнение sin t = a

Очевидно, что если | а |>1, то уравнение sin t = a не имеет решений, т.к. | sin t |≤1 для любого t.

При | а |≤1 на отрезке [-π/2; π/2] уравнение sin t = a имеет одно решение t ₁= arcsin a. На отрезке [π/2; 3π/2] функция синус убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне уравнение и на этом отрезке имеет одно решение.

Это решение есть число t ₂=π- arcsin a, т.к. sin t ₂= sin (π- t ₁)= sin t ₁= а.

Кроме того, поскольку -π/2≤ t ₁≤π/2,

имеем -π/2≤- t ₁≤π/2

и π-π/2≤π- t ₁≤π+π/2,

т.е. π/2≤ t ₂≤3π/2, t ₂Є[π/2; 3π/2].

Итак, уравнение sin t = a на отрезке [π/2; 3π/2] имеет два решения t ₁= arcsin a и t ₂=π- arcsin a (совпадающие при а =1). Учитывая, что период синуса равен 2π, получаем формулу для решения уравнения sin t = a:

t =(-1) ^karcsin a +π k, k Є Z.

Пример 4. Решите уравнение: sin t = .

Решение: по формуле t =(-1) ^k ar с sin ()+π k, (k Є Z).

Поскольку ar с sin ()=π/4 приходим к ответу t =(-1) ^k π/4+π k, (k Є Z).

Пример 5. Решите уравнение: sin t =0,3714.

Решение: по формуле t =(-1) ^k ar с sin (0,3714)+π k, (k Є Z).

Значение ar с sin (0,3714) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 0,3805.

Итак, приходим t = (-1) ^k 0,3805+π k, (k Є Z).

Пример 6. Решите уравнение: sin = .

Решение: функция синус нечетная, поэтому sin =- sin =- .

Тогда по формуле: =(-1) ^k ar с sin +π k, (k Є Z).

Т.к. ar с sin = , имеем =(-1) ^k ()+π k, (k Є Z)

или , (k Є Z).

Умножив обе части уравнения на 2, получим ответ: ,(k Є Z).

Уравнение tg x = a

При любом а на интервале (-π/2; π/2) существует одно число t, что tgt = a, – это arctg a. Поэтому уравнение tg x = a имеет на интервале (-π/2; π/2) длиной π единственный корень.

Функция тангенс имеет период π. Следовательно, остальные корни уравнения tg t = a отличаются от найденного на π n, (n Є Z), т.е.

t = arctg a +π n, (n Є Z).

Пример 7. Решите уравнение: tg t = .

Решение: по формуле t = ar с tg ()+π n, (n Є Z).Поскольку ar с tg ()=  приходим к ответу t = +π n, (n Є Z).

Пример 8. Решите уравнение: tg t =5,177.

Решение: по формуле t = ar с tg (5,177)+π n, (n Є Z).

Значение ar с tg (5,177) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 1,38. Итак, приходим t =1,38+π n, (n Є Z).

Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Решение
sin x = a
cos x = a
tg x = a
ctg x = a