Решение логарифмических уравнений

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение логарифма;

- свойства логарифмов;

уметь:

- решать уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

 

Сведения из теории:

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log_ax = b.

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке (0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения.

Теорема о корне: пусть функция f возрастает (убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f (x)= a имеет единственный корень в промежутке I.

По вышесказанной теореме следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение.

Из определения логарифма числа следует, что таким числом является a^b.

 

Пример 1. Решите уравнение: log ₂(х ²+4 х +3)=3.

Решение: данному уравнению удовлетворяют те значения х, для которых выполнено равенство: х ²+4 х +3=2³.

Получаем обычное квадратное уравнение х ²+4 х +3=8 или х ²+4 х -5=0, корни которого вычисляем с помощью дискриминанта: х ₁=1; х ₂=-5.

Пример 2. Решите уравнение: log ₅(2 х +3)= log ₅(х+ 1).

Решение: данное уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства: 2 х +3>0 и х+ 1>0 (это следует из определения логарифма).

Для этих х данное уравнение равносильно уравнению: 2 х +3= х+ 1, из которого находим х =-2. Выполняя проверку, убеждаемся, что х =-2 не удовлетворяет неравенству х+ 1>0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Пример 3. Решите уравнение: log ² ₅ х - log ₅ х ²-3=0.

Решение: данное уравнение, воспользовавшись свойством степени логарифма, можно переписать в виде: (log ₅ х)²-2 log ₅ х -3=0.

Сделаем замену переменной: t = log ₅ х, тогда наше уравнение перепишется в виде: t ²-2 t -3=0, корни которого вычислим через дискриминант: t ₁=3, t ₂=-1.

Вернемся к исходной переменной: log ₅ х =3 или log ₅ х =-1.

Используя определение логарифма получаем корни исходного уравнения: х ₁=5³=125, х ₂=5^-1=1/5=0,2.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнение:

1 вариант 1) ;	2 вариант 1) ;	3 вариант 1) ; 2) .
4 вариант 1) ; 2) .	5 вариант 1) ; 2) .	6 вариант 1) log2(2 x -1)=4;
7 вариант 1) log3(x -12)=2;	8 вариант 1) log x 16-log x 2=1/2;	9 вариант 1) log3(x +8)=-2;

Контрольные вопросы:

1. Что называется логарифмическим уравнением?

2. Перечислите способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком логарифма или в основании логарифма.

Практическое занятие

Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- правила преобразования рациональных, иррациональных, степенных выражений;

уметь:

- выполнять преобразования рациональных, иррациональных, степенных выражений.

 

Сведения из теории:

Преобразование алгебраических выражений, используя приведение дробей к общему знаменателю, формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения:

;

;

;

;

где а, b, с – любые действительные числа;

,

где а ¹0, х ₁ и х ₂ – корни уравнения .

Основное свойство дроби и действия над дробями

, где b ¹0, с ¹0;

;

;

;

.

Пример 1. Упростите:

Решение: решаем по действиям: 1) деление; 2) сложение; 3) вычитание.

1) Используя формулы сокращенного умножения разности квадратов: , суммы кубов , получим:

;

2) Для сложения приведем дроби к общему знаменателю :

3) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

 

Преобразование выражений, содержащих радикалы

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе необходимо и числитель и знаменатель дроби помножить на одно и то же число, сопряженное к знаменателю.

Пример 2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: .

Решение: чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе необходимо и числитель и знаменатель дроби помножить на одно и то же число, сопряженное к знаменателю: , тогда получим:

 

Решение иррациональных уравнений

Наиболее часто используемым при решении иррациональных уравнений способов является возведение обеих частей уравнения в квадрат.

 

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение: возведем обе части уравнения в квадрат, при этом в уравнении появятся посторонние корни, поэтому проверка при решении иррациональных уравнений обязательна:

Получилось обычное квадратное уравнение, корни которого вычисляем через дискриминант: х ₁=12, х ₂=7.

Выполним проверку, для этого подставим в наше исходное уравнение получившиеся корни:

х ₁=12:

х ₂=7:

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .	2 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .
3 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .	4 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .
5 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .	6 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .
7 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .	8 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .
9 вариант №1. Упростите: №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: . №3. Решите иррациональное уравнение: .

Контрольные вопросы:

1. Какие формулы можно использовать при преобразовании алгебраических выражений?

2. Как можно освободиться от иррациональности в знаменателе?

3. Сформулируйте правила решения иррациональных уравнений.