Достаточные условия точки перегиба.

     ТЕОРЕМА 2. Пусть функция  дифференцируема в точке , дважды дифференцируема в окрестности точки , и  меняет знак при переходе через точку . Тогда - точка перегиба.

   Доказательство. Применяем формулу конечных приращений два раза

,

где , если , и , если .

            Так как , то

.

То есть, если производная  меняет знак при переходе через точку , то и разность  меняет знак при переходе через точку . Тогда точка - точка перегиба.

 

   ТЕОРЕМА 3. Пусть функция  трижды дифференцируема в точке ,  и , тогда - точка перегиба.

    Доказательство. По формуле Тейлора имеем

.

  Отсюда получаем

Так как  выполняется неравенство , то есть выражение  не меняет знак , то

 меняет знак при переходе через точку  вместе с , то есть - точка перегиба.

 

АСИМПТОТЫ

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция   определена в окрестности точки  (возможно односторонней), и (или)              или . Тогда прямая  называется вертикальной асимптотой.

 

      ПРИМЕР 1. .   - вертикальная асимптота.

 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть функция  определена при  (). Если существуют числа  такие, что  при               (), то прямая  называется асимптотой графика функции  при при ().

    Если существует асимптота, то при () функция мало отличается от линейной функции (на величину бесконечно малую).

 

      ПРИМЕР 2. .

,  

.

Прямая  - асимптота графика при .

 

 

ПЕРВООБРАЗНАЯ

И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция  определена на интервале . Функция  называется первообразной для функции  на интервале , если  дифференцируема на интервале , и .

 

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция  определена на интервале . Функция  называется первообразной  для функции  на отрезке , если  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , и .

Аналогично определяются первообразные на полуинтервалах, неограниченных промежутках.

ПРИМЕР.   Первообразной функции

является функция , . Эта же функция будет первообразной для функции , .

  ЗАМЕЧАНИЕ. Одна и та же функция может быть первообразной разных функций, однако они могут отличаться только на концах промежутка.

 

ТЕОРЕМА. Если функция  является первообразной функции  на интервале  (на отрезке  ),то всякая функция  является первообразной функции , и любая первообразная функции  представима в виде .

Доказательство.  Пусть  является первообразной функции  на интервале  (на отрезке  ), тогда во всех внутренних точках  (и   непрерывна в граничных точках отрезка ), тогда  - первообразная функции  на интервале  (на отрезке  ), так как  (функция    непрерывна на отрезке ).

   Пусть  и  две первообразные функции  на интервале  (на отрезке ), тогда во всех внутренних точках  получаем

. По следствию из теоремы Лагранжа   (и  в граничных точках отрезка в силу непрерывности первообразных на отрезке ).Теорема доказана.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность всех первообразных функции , определенных на промежутке , называется неопределенным интегралом от функции  на этом промежутке и обозначается . Функция  называется подынтегральной функцией. Если  - какая либо первообразная, то . Принято писать .

 

              Свойства неопределенного интеграла

1.

        .

Так как , то , то получаем

. 

2. Пусть функция  на интервале  имеет первообразную, тогда во всех точках интервала

.

Пусть функция  является первообразной функции  на интервале , тогда .

3. Если функции  и  имеют на интервале   первообразные, то функция  также имеет первообразную, причем

.

, . Тогда

.

По определению это означает, что

.

4.  Пусть функция  на интервале  имеет первообразную, и , тогда  имеет первообразную, причем

    .

Пусть функция  является первообразной функции  на интервале , тогда , тогда . По определению это означает

             .