Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Глобальный экстремум функции
Пусть функция непрерывна на отрезке , по теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке своего максимума и минимума. Максимум может достигаться во внутренней точке, и в этом случае эта точка является одной из точек локального максимума, или в одной из граничных точек. Для нахождения максимального значения функции на отрезке необходимо сравнить значения в точках локального максимума со значениями функции на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет максимальным значением функции на отрезке. Аналогично, минимум достигается или в одной из точек локального минимума, или на границе отрезка. Минимум функции на отрезке находится как минимальное значение функции в точках локального минимума и значений функции на концах отрезка. ПРИМЕР. Найти максимальное и минимальное значение функции на отрезке . Находим точки подозрительные на локальный экстремум , при , . По теореме 1 точка является точкой строгого локального максимума, а точка точкой строгого локального минимума. , . На концах отрезка функция принимает значения , . Максимальное значение функции на отрезке равно , минимальное .
ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ Пусть функция определена на интервале , и . Проведем через точки и прямую , , . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на интервале , если таких, что и справедливо неравенство ( ).
Геометрически выпуклость вверх (вниз) означает, что любая точка хорды лежит не выше (не ниже) кривой .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется строго выпуклой вверх (вниз) на интервале , если таких, что и справедливо неравенство ( ). (4) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интервал, на котором функция выпукла (строго или нестрого) вверх или вниз называется интервалом (строгой или нестрогой) выпуклости вверх или вниз соответственно этой функции. ТЕОРЕМА 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы монотонно убывала (монотонно возрастала). ЛЕММА. Условие выпуклости вверх равносильно неравенству , (5)
а условие выпуклости вниз равносильно неравенству (6) таких, что и . Доказательство леммы. Пусть функция выпукла вверх на интервале , то есть , таких, что и . Приведем подобные относительно и , получаем . Умножим левую часть неравенства на . Умножаем обе части неравенства на , получаем . Последнее неравенство делим на , . Окончательно получаем . Лемма доказана для случая выпуклой вверх функции, для функции выпуклой вниз доказательство аналогично (будут выполняться противоположные неравенства).
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть функция выпукла вверх, тогда в силу леммы таких, что и справедливо неравенство . (7) В неравенстве (7) перейдем к пределу при , получаем , (8) переходя в неравенстве (7) к пределу при , получаем . (9) Из неравенств (8) и (9) следует, что таких, что справедливо неравенство , то есть монотонно убывает на интервале . Достаточность. Пусть производная монотонно убывает. Применяя формулу конечных приращений Лагранжа получаем, если , то , , где . Так как монотонно убывает, то , а, следовательно, . (10) Последнее неравенство означает в силу леммы, что функция выпукла вверх.
ТЕОРЕМА 1.1. Если функция дифференцируема на интервале и строго монотонно убывает (строго монотонно возрастает), то строго выпукла вверх (вниз). Доказательство теоремы повторяет доказательство достаточности теоремы 1. В неравенстве (8), так как , то вместо неравенства (8) получаем неравенство , верное таких, что и . Последнее означает, что функция строго выпукла вверх. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция два раза дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ( ).
Доказательство. Необходимым и достаточным условием монотонного убывания (возрастания) функции является условие (. Остается применить теорему 1. ТЕОРЕМА 3.. Пусть функция дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы её график лежал ниже (выше) касательной к графику в любой точке . Доказательство. Пусть точка - произвольная точка. Уравнение касательной линии к графику функции в данной точке имеет вид . Необходимость. Пусть функция выпукла вверх на интервале . По теореме 1 монотонно убывает на интервале . Пусть , тогда , (11) так как в случае , , а, если , то , . Неравенство (9) означает, что график функции лежит ниже касательной к графику в любой точке . Аналогично доказывается необходимость в случае, если функция выпукла вниз (получаются противоположные неравенства). Достаточность. Пусть , и справедливо неравенство . Тогда . (12) Пусть точки , , тогда из неравенства (12) получаем , . Отсюда следует, что неравенство (13) верно и . Условие (13) является равносильным условию выпуклости вверх функции на интервале по лемме.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция дифференцируема в точке , - уравнение касательной к графику функции в точке . Если разность меняет знак при переходе через точку , То точка называется точкой перегиба функции . Итак, в силу определения, разность имеет один знак, а разность имеет другой знак.
ПРИМЕР. . , , и при , то есть функция выпукла вниз на интервале и любая касательная в точках лежит ниже графика. И при , то есть функция выпукла вверх на интервале и любая касательная в точках лежит выше графика функции. Точка - точка перегиба. Касательная в этой точке . ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки , вторая производная непрерывна в точке , и - точка перегиба, тогда . Доказательство от противного. Пусть (), тогда выполняется неравенство (), то есть на интервале функция выпукла вниз (вверх) и любая касательная к графику функции лежит, в силу теоремы 3, ниже (выше) графика функции, то есть - не является точкой перегиба. Получили противоречие. Предположение неверно. Теорема доказана.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 104; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.22.51.103 (0.04 с.) |