Глобальный экстремум функции

  Пусть функция непрерывна на отрезке , по теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке  своего максимума и минимума.

Максимум может достигаться во внутренней точке, и в этом случае эта точка является одной из точек локального максимума, или в одной из граничных точек.

Для нахождения максимального значения функции на отрезке необходимо сравнить значения в точках локального максимума со значениями функции на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет максимальным значением функции на отрезке.

    Аналогично, минимум достигается или в одной из точек локального минимума, или на границе отрезка. Минимум функции на отрезке находится как минимальное значение функции в точках локального минимума и значений функции на концах отрезка.

ПРИМЕР.   Найти максимальное и минимальное значение функции на отрезке .

Находим точки подозрительные на локальный экстремум ,  при , .

По теореме 1 точка  является точкой строгого локального максимума, а точка  точкой строгого локального минимума.

, . На концах отрезка функция принимает значения , . Максимальное значение функции на отрезке  равно , минимальное .

       

ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ

Пусть функция   определена на интервале , и . Проведем через точки  и   прямую , , .

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется выпуклой вверх (вниз) на интервале , если  таких, что  и  справедливо неравенство   (   ).

 

Геометрически выпуклость вверх (вниз) означает, что любая точка хорды  лежит не выше (не ниже) кривой .

 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется строго выпуклой вверх (вниз) на интервале , если  таких, что  и  справедливо неравенство

(   ).                                                       (4)

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интервал, на котором функция выпукла (строго или нестрого) вверх или вниз называется интервалом (строгой или нестрогой) выпуклости вверх или вниз соответственно этой функции.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция  дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы  монотонно убывала (монотонно возрастала).

ЛЕММА. Условие выпуклости вверх  равносильно неравенству                      ,                                        (5)

а условие выпуклости вниз  равносильно неравенству

                                                                     (6)

 таких, что  и .

          Доказательство леммы. Пусть функция  выпукла вверх на интервале , то есть

,

 таких, что  и .

Приведем подобные относительно  и , получаем .

Умножим левую часть неравенства на .

Умножаем обе части неравенства на , получаем . Последнее неравенство делим на , . Окончательно получаем

                 .

Лемма доказана для случая выпуклой вверх функции, для функции выпуклой вниз доказательство аналогично (будут выполняться противоположные неравенства).                                        

 

  Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть функция  выпукла вверх, тогда в силу леммы  таких, что  и  справедливо неравенство 

    .                                                              (7)

В неравенстве (7) перейдем к пределу при , получаем

              ,                                                        (8)

переходя в неравенстве (7) к пределу при , получаем

                    .                                             (9)

Из неравенств (8) и (9) следует, что  таких, что  справедливо неравенство , то есть  монотонно убывает на интервале .

     Достаточность. Пусть производная  монотонно убывает. Применяя формулу конечных приращений Лагранжа получаем, если , то

,         ,

где    . Так как  монотонно убывает, то , а, следовательно,

     .                                     (10)

Последнее неравенство означает в силу леммы, что функция выпукла вверх.

 

   ТЕОРЕМА 1.1. Если функция  дифференцируема на интервале  и  строго монотонно убывает (строго монотонно возрастает), то  строго выпукла вверх (вниз).

   Доказательство теоремы повторяет доказательство достаточности теоремы 1. В неравенстве (8), так как , то вместо неравенства (8) получаем неравенство

     ,

верное  таких, что  и . Последнее означает, что функция  строго выпукла вверх. Теорема доказана.

 

  ТЕОРЕМА 2. Пусть функция   два раза дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось неравенство             (  ).

   Доказательство. Необходимым и достаточным условием монотонного убывания (возрастания) функции  является условие  (. Остается применить теорему 1.

      ТЕОРЕМА 3.. Пусть функция  дифференцируема на интервале . Для того, чтобы функция была выпукла вверх (вниз) необходимо и достаточно, чтобы её график лежал ниже (выше) касательной к графику в любой точке .

       Доказательство. Пусть точка  - произвольная точка. Уравнение касательной линии к графику функции в данной точке имеет вид .

    Необходимость. Пусть функция  выпукла вверх на интервале . По теореме 1  монотонно убывает на интервале . Пусть , тогда

,                                                                         (11)

так как в случае , , а, если  , то , .

Неравенство (9) означает, что график функции   лежит ниже касательной к графику в любой точке .

Аналогично доказывается необходимость в случае, если функция выпукла вниз (получаются противоположные неравенства).

        Достаточность. Пусть , и  справедливо неравенство . Тогда

      .                                                       (12)

Пусть точки , , тогда из неравенства (12) получаем 

      ,    .

Отсюда следует, что неравенство

                                                                   (13)   

верно  и . Условие (13) является равносильным условию выпуклости вверх функции  на интервале  по лемме.

 

ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция  дифференцируема в точке ,  - уравнение касательной к графику функции в точке . Если разность  меняет знак при переходе через точку , То точка  называется точкой перегиба функции .

   Итак, в силу определения,  разность  имеет один знак, а  разность  имеет другой знак.

 

ПРИМЕР. .

, , и  при , то есть функция выпукла вниз на интервале и любая касательная в точках  лежит ниже графика.

И  при , то есть функция выпукла вверх на интервале  и любая касательная в точках  лежит выше графика функции.

Точка  - точка перегиба. Касательная в этой точке .

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция   дважды дифференцируема в окрестности точки , вторая производная  непрерывна в точке , и  - точка перегиба, тогда .

    Доказательство от противного. Пусть   (), тогда  выполняется неравенство   (), то есть на интервале  функция выпукла вниз (вверх) и любая касательная к графику функции лежит, в силу теоремы 3, ниже (выше) графика функции, то есть  - не является точкой перегиба. Получили противоречие. Предположение неверно. Теорема доказана.