Тема 4. 8. Движение воды в пористой среде

• Движение грунтовых вод является частным случаем фильтрации – движения жидкости в пористой среде.

• Фильтрация происходит через поры грунта и может быть ограничена снизу и сверху водонепроницаемыми (водоупорными) слоями грунта. Такая фильтрация называется напорной (рис. 4.8.1).

 

Рис. 4.8.1. Напорная фильтрация.

 

• Если водоупорный слой ограничивает поток только снизу, то такая фильтрация называется безнапорной (рис. 4.8.2). Поверхность безнапорного фильтрационного потока называется депрессивной, а кривая свободной поверхности – кривой депрессии. В зависимости от расхода депрессивная поверхность занимает разные положения.

 

Рис. 4.8.2. Безнапорная фильтрация.

 

• Безнапорное движение грунтовых вод чаще является неравномерным, поскольку гидравлический уклон J, как правило, не равняется уклону водоупорного слоя i (см. рис. 4.8.2).

• Отношение расхода Q ко всей площади фильтрационного потока ω называется скоростью фильтрации:

V = Q/ω. (4.8.1)

• В мелкозернистых грунтах (пески, глина, суглинки и т.п.) происходит ламинарная фильтрация, которая характеризуется потерями напора, прямо пропорциональными скорости фильтрации в первой степени.

• В крупнозернистых песках и материалах (гравий, галька, щебень, камень) происходит турбулентная фильтрация, при которой потери напора пропорциональны скорости в степени выше, чем первой.

• При фильтрации вода проходит через поры между частичками грунта. Отношение площади пор в сечении фильтрационного потока ω _p ко всей площади сечения ω называется коэффициентом пористости грунта: p = ω _p/ ω. Его значение обычно находится в пределах p = 0,3…0,5.

• Основной закон фильтрации:

Q = kωJ^m, (4.8.2)

где k – коэффициент фильтрации (см. табл. 4.8.1), зависящий от рода грунта и температуры воды; J – гидравлический уклон, который является потерей напора на единице длины фильтрационного потока:

J = h_l / l. (4.8.3)

m – показатель степени, для ламинарной фильтрации m = 1, для турбулентной – m = 0,5…1.

 

Таблица 4.8.1. Коэффициент фильтрации.

Грунты	k, см/с
Глина Суглинок Супесь Песок: мелкозернистый среднезернистый крупнозернистый Галька и гравий	1·10^-7 1·10^-7…1·10^-5 1·10^-5…1·10^-3   1·10^-4…1·10^-3 1·10^-3…1·10^-2 1·10^-2…1·10^-1 1·10^-1…1·10

 

• С учетом (6.2) скорость фильтрации

V = kJ^m. (4.8.4)

• При ламинарной фильтрации скорости фильтрации малы (V ~ 1 мм/с). В расчетах скоростным напором αV ²/(2 g) пренебрегают и считают, что полный напор равняется пьезометрическому (H ₀ = H), а гидравлический уклон пьезометрическому (J = i_p).

• Прибор Дарси (рис. 4.8.3) представляет собой цилиндр с дырчатым дном и выведенными из боковой поверхности цилиндра пьезометрами. Цилиндр заполняют исследуемым грунтом. Установившееся движение воды через прибор обеспечивается поддержанием постоянной отметки поверхности воды в приборе благодаря сбросу излишка воды в сбросную трубу. Коэффициент ламинарной фильтрации

, (4.8.5)

где W – объем воды, проходящей через прибор за время t, – площадь сечения цилиндра.

 

Рис. 4.8.3. Прибор Дарси для определения коэффициента фильтрации.

 

• Равномерное безнапорное движение грунтовых вод. Гидравлический и пьезометрический уклоны равны уклону водоупорного слоя i (рис. 4.8.4):

J = i_p = i. (4.8.6)

 

Рис. 4.8.4. Равномерное безнапорное движение грунтовых вод.

И тогда расход

Q = ωki, (4.8.7)

глубина равномерного движения

, (4.8.8)

где ω = bh ₀ – площадь сечения потока, q = Q/b – расход на единицу ширины потока.

• Неравномерное безнапорное движение грунтовых вод. В этом случае (рис. 4.8.5) уклон кривой депрессии

, (4.8.9)

где H – пьезометрический напор над плоскостью сравнения , z – отметка водоупорного слоя, h – глубина фильтрационного потока, – уклон водоупорного слоя. Тогда расход

. (4.8.10)

 

Рис. 4.8.5. Неравномерное безнапорное движение грунтовых вод.

 

Расход на единицу ширины потока (удельный расход)

. (4.8.11)

Получено дифференциальное уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения грунтовых вод.

• Интегрируя дифференциальное уравнение (4.8.11), получаем расстояние между сечениями с глубинами и :

. (4.8.12)

• На практике часто бывает, что уклон водоупорного слоя i = 0. Тогда уравнение (4.8.11) приобретает вид:

. (4.8.13)

Интегрированием уравнения (4.8.13) получаем уравнение Дюпюи:

. (4.8.14)

• Дренаж – это система подземных каналов (дрен), через которые осуществляется осушение сельскохозяйственных земель, отвод от сооружений грунтовых вод и снижение их уровня. Воду из дренажной сети выводят за границы осушаемой территории.

• Приток воды к галерее, расположенной на водоупорном слое (рис. 4.8.6). Согласно уравнению Дюпюи (4.8.14), удельный приток воды с одной стороны дренажной галереи (рис. 4.8.6)

, (4.8.15)

где q – удельный приток с одной стороны галереи, l – длина влияния галереи (расстояние от галереи, на котором уровень грунтовых вод практически не снижается), H – толщина водоносного слоя, – глубина воды в галерее, – средний уклон кривой депрессии, значение которого в зависимости от вида грунта приведены в табл. 4.8.2.

 

Рис. 4.8.6. Галерея на водоупорном слое.

 

Таблица 4.8.2. Средний уклон кривой депрессии.

Вид грунта
Плотные глины Глинистые грунты Песчано-глинистые грунты Песок Крупный песок, галька	0,15 0,1 0,05…0,1 0,005…0,015 0,003…0,005

 

• Подставляя найденное значение q в уравнение Дюпюи

, (4.8.16)

находят глубину воды h на расстоянии x от галереи и строят кривую депрессии.

• Приток воды к галерее, размещенной выше водоупорного слоя (рис. 4.8.7). Такая галерея называется висячей. Удельный приток

q = 2(q _lat + q _bot), (4.8.17)

где удельный приток через одну боковую стенку

. (4.8.18)

Чтобы найти удельный приток q _bot через половину ширины дна, вычисляем значения коэффициентов , . Потом из графика рис. 4.8.8 находим относительную величину и, в конце концов, вычисляем . Кривую депрессии можно построить по уравнению (4.8.16) с учетом того, что в этом случае q = q _lat.

 

Рис. 4.8.7. Висячая галерея.

 

Рис. 4.8.8. График для расчёта притока к висячей галерее.

 

• Приток воды к круглому совершенному дренажному колодцу. Совершенным называется колодец, расположенный на водоупорном слое (рис. 4.8.9). При откачивании воды из колодца глубина в нем будет уменьшаться, но из-за разности уровней грунтовых вод и отметки воды в колодце вода со всех сторон будет притекать к нему по радиальным направлениям. Основной закон фильтрации (4.8.2) принимает вид:

. (4.8.19)

Отсюда дифференциальное уравнение кривой свободной поверхности:

. (4.8.20)

Интегрируя это уравнение, получаем уравнение кривой депрессии для совершенного колодца:

. (4.8.21)

Приток воды к колодцу или необходимая величина откачки

, (4.8.22)

где H – толщина водоносного слоя. Радиус влияния колодца R определяют по эмпирической формуле Зихарда: , где глубина откачки , [ R ] = м, k – коэффициент фильтрации, м/с.

 

Рис. 4.8.9. Круглый совершенный дренажный колодец.

 

Пример 4.8.1. Определить дебит совершенного дренажного колодца, если отметка статического уровня грунтовых вод H = 15 м, отметка уровня воды в колодце h ₀ = 10 м, отметка водоупорного слоя 0,00 м, диаметр колодца d = 40 см, радиус влияния колодца R = 150 м, коэффициент фильтрации k = 0,03 см/с.

Решение. Радиус колодца r ₀ = d /2 = 0,2 м. Дебит совершенного дренажного колодца 0,0177 м³/с.

 

• Приток воды к совершенному артезианскому колодцу. Артезианский колодец забирает воду из водоносного слоя, ограниченного сверху и снизу водоупорными грунтами (рис. 4.8.10). Вода в таком слое находится под давлением и называется артезианской. В этом случае статический напор (за пределами радиуса влияния колодца) и напор в любом сечении h отличаются от толщины водоносного слоя a. Дебит колодца

, (4.8.23)

откуда

. (4.8.24)

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, имеем:

. (4.825)

Отсюда дебит артезианского колодца

, (4.8.26)

где – глубина откачки.

 

Рис. 4.8.10. Совершенный артезианский круглый колодец.

 

Пример 4.8.2. Найти дебит совершенного артезианского колодца диаметром d = 25 см, забирающего воду из водоносного песчаного слоя толщиной a = 8 м, если коэффициент фильтрации k = 0,002 см/с, напор в водоносном слое в естественном состоянии H = 20 м, глубина воды в колодце h ₀ = 10 м.

Решение. Радиус колодца r ₀ = d /2 = 0,125 м,

глубина откачки = 10 м,

радиус влияния колодца 134,2 м,

дебит колодца

0,00144 м³/с.

 

• Совершенный поглощающий круглый колодец. Такой колодец служит для сброса поверхностной воды, которая фильтруется в водоносный слой (рис. 4.8.11). Кривая депрессии в этом случае имеет форму, обратную к кривой депрессии дренажного колодца (рис. 4.8.9). Поглощающая способность поглощающего колодца

. (4.8.27)

Эта формула отличается от (4.8.19) только знаком “–”, который показывает, что в этом случае вода движется от колодца, а не к нему. После интегрирования получим:

. (4.8.28)

 

Рис. 4.8.11. Совершенный поглощающий круглый колодец.

 

• Фильтрация воды через земляные плотины.

На рис 4.8.12 показана Асуанская земляная плотина.

 

Рис. 4.8.12. Асуанская земляная плотина. Египет.

 

• Рассмотрим однородную (из однородного грунта, т.е. с постоянным коэффициентом фильтрации k) земляную плотину на водоупорном основании (рис. 4.8.13). Сила давления воды в водохранилище направлена по нормали к верховому откосу плотины, поэтому фильтрационный поток входит в тело плотины под прямым углом, а потом его линии течения на участке AB приобретают вогнутый характер. На дальнейшем пути BC кривая депрессии имеет форму, подобную кривой притока к дренажной галерее (см. рис. 4.8.6). После точки C часть фильтрационного потока выходит за промежуток высачивания CD, а часть – на затопленный откос DE. Расчет фильтрации основывается на разделении фильтрационного потока на три клина.

 

Рис. 4.8.13. Однородная плотина на водоупорном основании.

 

• Верховой клин ограничен верховым откосом плотины и вертикальной плоскостью, проходящей через точку B, размещенную на одной вертикали с бровкой плотины. Для верхового клина

, (4.8.29)

где – коэффициент заложения верхового откоса, H и h ₁ – напоры в начале и в конце верхового клина.

• Средний клин соответствует участку BC, движение на котором описывается уравнением Дюпюи:

, (4.8.30)

где S – длина среднего клина, т.е. расстояние между живыми сечениями фильтрационного потока, проведенными через точки B и C:

, (4.8.31)

где b – ширина плотины по верху, H _d – высота плотины, – коэффициент заложения откоса низовой грани, h ₂ – глубина в сечении, проходящем через точку C.

• Низовой клин соответствует участку CE. Для низового клина

. (4.8.32)

• Через все три клина проходит один и тот же расход q, поэтому решая задачу о фильтрации через плотину, имеем четыре неизвестных величины: q, h ₁, h ₂, S, которые можно определить, решив систему из четырех уравнений: (4.8.29), (4.8.30), (4.8.31), (4.8.32).

 

Пример 4.8.3. Определить фильтрационный расход на 1 м длины плотины и построить кривую депрессии при отсутствии воды в нижнем бьефе (h _n = 0), если H _d = 14 м, H = 12 м, b = 10 м, m ₁ = 3, m ₂ = 2, k = 0,4 м/сут (рис. 4.8.14).

 

Рис. 4.8.14. Однородная плотина на водоупорном основании при отсутствии воды в нижнем бьефе.

 

Решение. Используем систему уравнений (4.8.29), (4.8.30), (4.8.31), (4.8.32) при h _n = 0 и известных H _d, H, b, m, m ₂. Тогда получим:

;

;

;

.

Назначаем несколько значений h ₂ и выполняем расчеты, результаты которых заносим в табл. 4.8.3. По результатам расчетов строим линии а и б зависимости (рис. 4.8.15).

 

Таблица 4.8.3. Расчёт параметров фильтрации через плотину.

h 2, м	3,0	3,5	4,0
, м; линия а на рис. 4.8.14	1,50	1,75	2,00
, м
, м	10,25	10,99	11,66
, м; линия б на рис. 4.8.14	3,09	1,78	0,60

 

Рис. 4.8.15. Графическое определение параметров фильтрации через плотину.

 

Из графика рис. 4.8.15 получаем:

h ₂ = 3,53 м, q/k = 1,76 м.

Тогда q = (q/k)· k = 1,76∙0,4 = 0,704 м²/сут.

Расстояние = 30,94 м.

Кривую депрессии на участке среднего клина (рис. 4.8.14) строим согласно уравнению (4.8.30) для значений l = 0… S. Результаты расчетов приведены в табл. 4.8.4.

 

Таблица 4.8.4. Расчёт кривой депрессии.

l, м							30,94
, м	3,53	5,48	6,90	8,01	9,10	10,02	11,02

 

• Фильтрация через земляную плотину с ядром. Для уменьшения фильтрации через земляную плотину, в ней устраивается ядро из малопроницаемого грунта, например, глины (рис. 4.8.16 а). Фильтрационный поток в ядре заменяют эквивалентным потоком в прямоугольном массиве грунта, из которого изготовлена плотина, шириной , где k и k _k – коэффициенты фильтрации грунта соответственно тела плотины и ядра, δ _k – средняя толщина ядра. Итак, расчет фильтрации через земляную плотину с ядром сводится к расчету плотины из однородного грунта с теми же коэффициентами заложения откосов, но с большей шириной по верху, которая называется приведенной (рис. 4.8.16 б):

. (4.8.33)

 

Рис. 4.8.16. Земляная плотина с ядром и приведенная плотина.

Рис. 4.8.17. Схема к расчёту фильтрации.

Рис. 4.8.18. Схема к расчёту фильтрации сквозь земляную плотину.