ТЕМА 4.4. Установившееся неравномерное течение

• Основное дифференциальное уравнение установившегося неравномерного движения жидкости в открытых руслах:

, (4.4.1)

где – уклон дна русла (он положителен в случае уменьшения отметок дна), – уклон трения, т.е. потери энергии сечения по длине, отнесенные к единице длины (частный случай гидравлического уклона J). Энергия сечения возрастает за счёт уменьшающейся потенциальной энергии гравитационного поля и уменьшается вследствие потерь энергии на преодоление сил трения.

• В случае равномерного движения и поэтому

, (4.4.2)

в случае неравномерного

. (4.4.3)

• Основное дифференциальное уравнение плавноизменяющегося движения жидкости в открытых призматических руслах с прямым уклоном дна (i > 0):

, (4.4.4)

где K ₀ и K – расходные характеристики, Π _k – параметр кинетичности.

• Основное дифференциальное уравнение плавноизменяющегося движения жидкости в открытых призматических руслах с нулевым или обратным уклоном дна (i ≤ 0):

. (4.4.5)

• В случае неравномерного движения воды в открытых руслах кривые свободной поверхности могут приближаться к линии нормальных глубин O – O (если i > 0), или к линии критических глубин K – K, которые для призматического русла остаются неизменными (рис. 4.4.1).

• Если глубина неравномерного движения приближается к нормальной (h → h ₀), то (K → K ₀) и в соответствии с уравнением (4.4.4):

.

Это означает, что глубина стремится к постоянной величине, т. е. кривая свободной поверхности асимптотически приближается к линии нормальных глубин.

• Если глубина неравномерного движения приближается к критической (h → h _cr), то (Π _k→ 1) и в соответствии с уравнением (4.4.4):

.

Кривые свободной поверхности подходят круто, почти под прямым углом к линии критических глубин.

• Если уклон дна равняется критическому () при , как это показано на рис. 4.4.1 c, то и числитель, и знаменатель выражения (4.4.4) стремятся к нулю. Имеем неопределённость, поскольку кривая свободной поверхности не может подходить асимптотически к линии нормальных глубин и вместе с тем пересекать ее под прямым углом. На практике кривая свободной поверхности асимптотически приближается к линии нормальных глубин.

 

Рис. 4.4.1. Формы кривой свободной поверхности потока.

 

• Построение кривых свободной поверхности в открытых руслах. Предварительно следует найти уклон, нормальную и критическую глубину, и, воспользовавшись рис. 4.4.1, установить форму кривой свободной поверхности. Так при i > 0 и согласно рис. 4.4.1 a имеем выпуклую кривую спада, которая от линии нормальных глубин отходит асимптотически, а к линии критических глубин подходит круто. Такая кривая может устанавливаться перед возрастанием уклона дна русла от до . Если же i = 0 и , то согласно рис. 4.4.1 e устанавливается вогнутая кривая подпора, которая начинается от какой-то малой глубины и круто подходит к линии критических глубин. Такая кривая устанавливается при истечении воды из-под щита.

• За исходное берут сечение, в котором глубина известна. Таким может быть сечение перед сооружением (плотиной например) или после нее в русле, или сечение, в котором изменяется уклон дна русла. За исходное нельзя брать сечение с нормальной глубиной, поскольку кривая свободной поверхности асимптотически приближается к линии нормальных глубин лишь на бесконечности.

• Итак, прежде всего надо найти критическую и нормальную глубины.

 

Пример 4.4.1. Рассчитать кривую спада в водоотводной канаве с перепадом, если расход Q = 1,0 м³/с, коэффициент заложения откосов m = 0, ширина русла по дну b = 1 м, уклон дна ступени i = 0,0033, коэффициент шероховатости n = 0,017, нормальная глубина h ₀ = 0,69 м.

Решение. Находим критическую глубину для прямоугольного сечения 0,48 м. Поскольку , то согласно рис. 4.4.1 a имеем выпуклую кривую спада, которая от линии нормальных глубин отходит асимптотически, а к линии критических глубин подходит круто (рис. 4.4.2).

Экспериментальные исследования показывают, что критическая глубина h _cr устанавливается на некотором расстоянии от стенки перепада. Поэтому за начальную глубину принимаем h _b = h _cr = 0,48 м, а за конечную h _e = h ₀ = 0,69 м. Назначаем расчетные сечения с глубинами h ₁ = 0,48 м, h ₂ = 0,52 м, h ₃ = 0,58 м, h ₄ = 0,52 м, h ₅ = 0,69 м.

 

Рис. 4.4.2. Кривая спада в водоотводной канаве с перепадом.

 

Выполним расчеты методом Чарномского с использованием табличного процесса MS Excel. Результаты расчётов показаны на рис. 4.4.3.

 

Содержимое ячеек: I2 =СТЕПЕНЬ(H2*A2*A2/G2/C2/C2;1/3) B4 =F2 F4 =I2 B5 =$C2*B4+$B2*B4*B4 B6 =$C2+2*B4*КОРЕНЬ(1+$B2*$B2) B7 =B5/B6 B8 =0,37+2,5*КОРЕНЬ($E2)-0,75*(КОРЕНЬ($E2)-0,1)*КОРЕНЬ(B7) B9 =СТЕПЕНЬ(B7;B8)/$E2 B10 =B4+$H2*СТЕПЕНЬ($A2/B5;2)/2/$G2 B11 =СТЕПЕНЬ($A2/B5/B9;2) C12 =(B11+C11)/2 C13 =$D2-C12 C14 =C10-B10 C15 =C14/C13 C16 =B16+C15

Рис. 4.4.3. Решение примера 4.3.1 в MS Excel.

 

Для указанных сечений определяем основные гидравлические элементы:

площадь сечения ;

смоченный периметр ;

гидравлический радиус ;

показатель степени в формуле скоростной характеристики

;

расходную характеристику ;

удельную энергию сечения ;

уклон трения .

Среднее значение уклона трения между соседними сечениями . Расстояние между соседними сечениями

.

График, построенный в MS Excel, показан на рис. 4.4.4.

 

Рис. 4.4.4. Кривая спада для примера 4.2.1, построенная в MS Excel.

 

Пример 4.4.2. Построить кривую подпора в канале трапецеидального сечения, перегороженного щитом и истечением из-под щита, если расход Q = 1,0 м³/с; ширина русла по дну b = 0,5 м; коэффициент заложения откосов m = 1,5; коэффициент шероховатости n = 0,025; уклон дна канала i = 0,009; нормальная глубина h ₀ = 0,52 м; критическая глубина h _cr = 0,49 м; уровень воды перед щитом H = 1 м.

Решение. Решение примера методом Чарномского с использованием табличного процессора MS Excel показано на рис. 4.4.5.

Содержимое ячеек: B5=$C2*B4+$B2*B4*B4 B6=$C2+2*B4*КОРЕНЬ(1+$B2*$B2) B7=B5/B6 B8=0,37+2,5*КОРЕНЬ($E2)-0,75*(КОРЕНЬ($E2)-0,1)*КОРЕНЬ(B7) B9=СТЕПЕНЬ(B7;B8)/$E2 B10=B4+$H2*$A2*$A2/2/$G2/B5/B5 B11=$A2*$A2/B5/B5/B9/B9 C12=(C11+B11)/2 C13=C12-$D2 C14=(C10-B10)/C13 B15=C15+C14 B16=($B15-B15)*$D2 B17=B16+B4 J14=СУММ(C14:G14)

Рис. 4.4.5. Решение примера 4.4.2 в MS Excel.

 

Рис. 4.4.6. График к примеру 4.4.2, построенный в MS Excel.

Пример 4.4.3. Найти нормальное и критическое наполнение для трубы дождевой канализации диаметром D = 600 мм при расчётном расходе Q = 430 л/с и уклоне земли i = 0,0085.

Решение. Коэффициент шероховатости канализационных труб n = 0,013.

Гидравлический радиус при наполнении доверху

0,15 м,

площадь живого сечения

0,283 м²,

показатель степени в формуле скоростной характеристики

0,65,

скоростная характеристика при наполнении доверху

22,4 м/с,

расходная характеристика при наполнении доверху

6,33 м³/с,

относительная расходная характеристика

0,737.

Из графика “рыбка” (рис. 4.2.2) нормальное наполнение 1,40.

Расходный параметр

Из графика рис. 4.3.8 находим критическое наполнение

.

Критическая глубина

0,3·1,25 = 0,375 м.

Расход

0,484 м³/с.

Скорость

2,02 м/с.

Решение задачи методом Чарномского с использованием табличного процессора MS Excel показано на рис. 4.4.7.

Кривая спада, построенная в MS Excel, показана на рис. 4.4.8.

 

 

Содержимое ячеек: E2 =D2/4 F2 =СТЕПЕНЬ(E2;G2)/C2 G2 =0,37+2,5*КОРЕНЬ(C2)-0,75*(КОРЕНЬ(C2)-0,1)*КОРЕНЬ(E2) H2 =СТЕПЕНЬ(E2;G2)/C2 I2 =H2*F2 J2 =A2/I2/КОРЕНЬ(B2) C4 =A4*A2*A2/B4/СТЕПЕНЬ(D2/2;5) D4 =ЕСЛИ(C4>2;2-1,038*EXP(-0,0725*C4);0,837*СТЕПЕНЬ(C4;0,257)) F4 =D4*D2/2 B7 =B6*2 B8 =-0,05*СТЕПЕНЬ(B7;4)-0,03746*СТЕПЕНЬ(B7;3)+0,5216*СТЕПЕНЬ(B7;2) +0,00697*B7 E8 =C7*D2/2 H10 =D4 B11 =B10*$D2/2 B12 =2*ACOS(1-2*($D2-B11)/$D2) B13 =(2*ПИ()-B12)*$D2*$D2/8 B14 =B11+$A4*СТЕПЕНЬ($A2/B13;2)/2/$B4 B15 =-0,05*СТЕПЕНЬ(B10;4)-0,03746*СТЕПЕНЬ(B10;3) +0,5216*СТЕПЕНЬ(B10;2)+0,00697*B10 B16 =СТЕПЕНЬ($A2/B15/$I2;2) C17 =(B16+C16)/2 C18 =$B2-C17 C19 =C14-B14 C20 =C19/C18 C21 =B21+C20

Рис. 4.4.7. Решение примера 4.4.3 в MS Excel.

 

Рис. 4.4.8. Кривая спада для примера 4.2.4, построенная в MS Excel.

 

 

Рис. 4.4.9. Схема построения кривых свободной поверхности в открытых руслах способом Чарномского.