Оцінка ймовірності біноміального розподілу по частоті

Статистична модель. Нехай проводяться незалежні спостереження з невідомою ймовірністю появи події у кожному випробуванні. Необхідно оцінити невідому ймовірність за частотою, тобто знайти її оцінку і довірчий інтервал.

За точкову оцінку ймовірності приймають частоту

(2.74)

де кількість появ події А, кількість випробувань.

Ця оцінка незсунена, тобто її математичне сподівання дорівнює ймовірності р. Дійсно, враховуючи, що одержимо

Якщо об’єм вибірки достатньо великий (практично при ) і ймовірність (частка ознаки) не дуже мала (так що ), то для оцінки ймовірності може бути застосована асимптотична формула Лапласа. За цих умов біноміальний розподіл добре апроксимується нормальним розподілом з параметрами

Використовуючи формулу ймовірності заданого відхилення нормальної випадкової величини від свого середнього значення, одержимо:

.

Для знаходження довірчого інтервалу , який накриває оцінюваний параметр з довірчістю , потрібно, щоб виконувалась умова:

, (2.75)

де – . Звідси знаходимо граничну похибку :

(2.76)

Таким чином, з імовірністю виконується нерівність:

.

Обидві частини нерівності додатні. Тому підвівши їх до квадрату, одержимо рівносильну нерівність

,

розв’язуючи яку відносно , одержимо границі довірчого інтервалу:

(2.77)

Таким чином, довірчий інтервал знайдений.

При великих значеннях доданки і дуже малі і множник . Тому вираз у дужках буде дорівнювати

. (2.78)

Отже, довірчий інтервал для ймовірності біноміального розподілу (генеральної частки) при великому буде дорівнювати:

. (2.79)

Для безповторної вибірки середнє квадратичне треба замінити на

, (2.80)

де – об’єм генеральної сукупності. Тоді буде дорівнювати:

. (2.81)

Приклад 2.9. Проведені незалежні випробування з однаковою, але невідомою ймовірністю р появи події А у кожному випробуванні. Знайдемо довірчий інтервал для оцінки ймовірності р біноміального розподілу з довірчістю якщо у 80 випробуваннях подія А відбулась 16 разів.

Алгоритм у Mathcad

Початкові дані

Квантиль нормованого нормального розподілу

Границі довірчого інтервалу

Довірчий інтервал для ймовірності появи події у схемі незалежних випробувань

◄

Оцінка математичного сподівання

Експоненціального розподілу

Статистична модель. Вибірка об’єму одержана із генеральної сукупності, розподіленої за експоненціальним законом з параметром Припускається, що параметр невідомий. Треба визначити довірчий інтервал для математичного сподівання цього розподілу.

Математичне сподівання і дисперсія генеральної сукупності відповідно дорівнюють

.

Для цього розподілу звичайно оцінюється не параметр , а обернена до нього величина , тобто математичне сподівання експоненціального розподілу

Побудова довірчого інтервалу базується на тому, що випадкова величина , де – вибіркові значення, які мають експоненціальний розподіл з параметром , не залежить від і має розподіл з 2n ступенями свободи.