Закони розподілу випадкових величин

Випадковою називається величина, яка в результаті досліду може прийняти одне і тільки одне значення, що наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Дискретною називають випадкову вели­чину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певною ймовірністю.

Неперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень з деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Приклади|зразки| дискретних випадкових величин:

Ø кількість повернених в строк кредитів;

Ø кількість договорів, за якими страхова компанія виплачує страхові суми;

Ø кількість пакетів акцій, за якими буде отриманий прибуток.

Приклади|зразки| неперервних випадкових величин:

Ø сума прибутку, отриманого через рік;

Ø вклади населення в даному банку.

Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їй ймовірностями.

Закон розподілу можна задати:

· у табличній формі (ряд розподілу);

	x 1	x 2	x 3	…	xn
	p 1	p 2	p 3	…	pn

 

;

· аналітично (у вигляді формули);

· графічно.

 

Графік, що відповідає заданому розподілу називається багатокутником розподілу випадкової величини. При цьому на осі абсцис відкладаються значення х_i випадкової величини Х, а на осі ординат – їх ймовірності р_i.

Приклад. Підприємець може отримати кредит у двох банках: у першому з ймовірністю 0,6 в сумі 15 тис. грн., в другому – з ймовірністю 0,3 в сумі 35 тис. грн. Скласти ряд розподілу випадкової величини Х – загальна сума отриманого кредиту (у тис. грн.).

Розв’язання. Підприємець може не отримати кредит в жодному з банків, отримати в першому, у другому та у обох банках:

	0,28	0,42	0,12	0,18

Перевірка: 0,28+0,42+0,12+0,18=1.

 

Функцією розподілу називають функцію , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина в результаті випробування набуває значення, меншого за , тобто

. (2.1)

Властивості функції розподілу:

1.

2. , якщо

3.

4.

Приклад. Заданий ряд розподілу випадкової величини Х - числа несвоєчасних розрахунків за продукцію.       0,36 0,48 0,16 Побудувати функцію розподілу числа несвоєчасних розрахунків за продукцію.

Розв’язання. Випадкова величина Х – число несвоєчасних розрахунків за продукцію – може приймати такі значення

Для побудови графіка функції розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини необхідно розрахувати кумулятивні (накопичені) ймовірності, що відповідають значенням випадкової величини. Алгоритм їх розрахунку витікає з сенсу функції розподілу

Ця формула справедлива для всіх F (х_i), окрім F (х₀). Оскільки функція розподілу визначає ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, менше заданого, зрозуміло: ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, не більш мінімального, дорівнює 0, тобто F (х₀) = 0.

Якщо:

, тоді

, тоді

, тоді

, тоді

 

 

 

Щільністю розподілу ймовірності неперервної випадкової величини називають функцію - першу похідну від функції розподілу:

. (2.2)

Властивості щільності розподілу:

1.

2. , зокрема

3.

4. (2.3)

Неперервна випадкова величина може бути задана або функцією розподілу ймовірностей (інтегральна функція розподілу) , або функцією щільності ймовірностей (диференціальна функція розподілу) .

Приклад. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Знайти:

1) коефіцієнт а;

2) щільність ймовірностей

3) ймовірність попадання величини Х в інтервал (2,5; 3,5).

Розв’язання.

Враховуючи вигляд f (x), дістанемо Звідси:

Отже,

Приклад. Випадкова величина Х має щільність розподілу: Побудувати функцію розподілу і накреслити її графік.

Розв’язання.

Відомо, що . Знайдемо значення цієї функції на кожному інтервалі окремо:

1. При

2. При

=

3. При

=

Отже,

 

 

Побудуємо графік

 

 

 

Числові характеристики випадкових величин

Математичне сподівання

Математичним сподіванням випадкової величини Х називають

(2.4)

для дискретної випадкової величини,

(2.5)

для неперервної випадкової величини, причому припускається, що ряд і інтеграл збігаються абсолютно.

У цих формулах – значення випадкових величин, – їх ймовірності, щільність ймовірності.