Тема 4. Принятие решений в условиях неопределенности.

 

В зависимости от условий внешней среды и степени информированности лица существует следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях определенности;

б) в условиях риска;

в) в условиях неопределенности;

г) в условиях конфликтных ситуаций или противодействия (активного противника).

В данном разделе мы остановимся на случае в). В этом случае отсутствуют объективные критерии оценивания достижения целевого и текущего состояний объекта управления, а также статистика, достаточная для построения соответствующих вероятностных распределений (законов распределения исходов операций) для конкретного принятого решения, что не позволяет свести эти задачи к детерминированным или вероятностным.

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде таблицы:

 

Здесь - значение вектора управляемых параметров, определяющий свойства системы;

- значение вектора неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки;

- значение эффективности значения для состояния обстановки ; - эффективность системы .

Единого критерия принятия решения (оценки эффективности) в условиях неопределенности не существуют.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее часто в неопределенных операциях используются критерии:

а) максимакса;

б) критерий Вальда (осторожного наблюдателя);

в) критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма);

г) критерий среднего выигрыша;

д) критерий Лапласа;

е) критерий Сэвиджа (минимального риска).

 

Пример:

Владелец небольшого магазина в начале каждого дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт, по цене 50 руб. за единицу. Цена реализации этого продукта – 60 руб. за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1,2,3 или 4 ед. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 руб. за ед. Сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день?

Таблица возможных доходов за день:

	Возможные решения: число закупленных для реализации единиц
		-10	-30	-50
				-30
максимакс
максимин		-10	-30	-50

Поясним, как заполняется таблица:

В клетке (2,2) для реализации было закуплено 2 единицы, спрос был 2 единицы. Поэтому доход для этой клетки:

В клетке (3,1) была закуплена для реализации 1 ед., спрос был 3 ед. Поэтому возможный доход для этой клетки:

В клетке (3,4) было закуплено для реализации 4 ед., спрос был 3 ед. Поэтому возможный доход для этой клетки (реализация в конце дня непроданной единицы) =10 и т.д.

а) критерий максимакса.

Критерий максимакса – самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитают им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки, и естественно, в большей степени рискуют.

 

В нашем случае

Оптимальное решение – каждый раз надо закупать для реализации 4 единицы.

б) критерий Вальда

Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях.

В нашем случае

Оптимальное решение – каждый раз надо закупать для реализации 1 единицу продукции. Это подход очень осторожного человека.

в) критерий Гурвица

Это критерий обобщенного максимина. Для этого вводится коэффициент оптимизма , характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Оптимальное решение находится как взвешенная с помощью коэффициента сумма максимальной и минимальной оценок:

Условие оптимальности записывается в виде

При критерий Гурвица сводится к критерию максимина, при - к критерию максимакса.

Пусть и рассчитаем оптимальное решение для рассматриваемого примера:

Оптимальное решение -1 единица продукции.

г) критерий среднего выигрыша.

Данный критерий предполагает задание вероятностей состояний обстановки . Эффективность систем оценивается как т.е.

Пусть в нашем случае . Тогда получим следующие оценки систем:

Оптимальное решение -2 единицы.

д) критерий Лапласа.

В основе критерия лежит предположение: поскольку о состоянии обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятностными. Исходя из этого:

В нашем случае

Оптимальное решение -2 единицы продукции. Нетрудно заметить, что критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

е) критерий Сэвиджа (минимального риска).

Этот критерий минимизирует потери при наихудших условиях.

Преобразуем матрицу эффективности в матрицу потерь (риска), в которой элементы определяются соотношением:

И используем критерий минимакса:

Обратимся опять к рассматриваемому примеру. В нем матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь:

 

Возможные исходы: спрос в день	Возможные решение: число закупленных единиц

 

Тогда

, что соответствует 2 единицам закупаемой продукции.

Задачи (для самостоятельной работы).

1. Владелец небольшого магазина в начале каждого дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт, по цене 30 руб. за ед. Цена реализации этого продукта – 50 руб. за ед. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1,2.3, или 4 единицам. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 20 руб. за единицу. Пусть также известно, что на практике спрос 1 ед. продукции наблюдался 5 раз, спрос 2 ед. наблюдался 40 раз, 3 ед.-40 раз и 4 единиц – 15 раз. Пользуясь критериями максимакса, Вальда, Гурвица, среднего выигрыша, Лапласа и Сэвиджа определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день.

 

2. Некоторая фирма решает построить отель в одном из курортных мест. Необходимо определить количество мест или комнат в этой гостинице. Составлена смета расходов по строительству гостиницы с распределенным количеством комнат, которые будут сняты. В зависимости от принятого решения – количество комнат в гостинице , а количество снятых комнат , которое зависит от множества случайных факторов и неизвестно фирме. После соответствующих расчетов получена следующая таблица ежегодных прибылей:

	-121
	-168
	-216	-33
	-264	-81

По рассмотренным выше критериям определить наиболее подходящее количество комнат в гостинице.