Рівняння руху літальних апаратів

Рівняння руху літальних апаратів

 як математична модель польоту

При вивченні будь-якого складного об’єкта завжди проводять його дослідження на моделях, тобто використовують моделювання. При цьому розрізняють:

- фізичні моделі;

- математичні моделі.

ЛА є складним об’єктом і для нього при дослідженні створюються як фізичні, так і математичні моделі. Так, фізичні моделі ЛА встановлюють подібність з оригіналом, повторюючи його зовнішні форми у зменшеному вигляді, при цьому керуються положеннями теорії «подібності». Моделі ЛА, які досліджуються в аеродинамічних трубах, є фізичними моделями.

Математичні моделі – це моделі подібності у поведінці з оригіналом. Математичною моделлю будь-якого об'єкта називають опис його поведінки на будь-якій формальній мові, яка дозволяє визначити його основні характеристики. Як правило, математичні моделі використовують мову диференційних рівнянь. При цьому процес функціонування об'єкта розглядається у деякому інтервалі часу, а його стан у кожний момент часу задається набором параметрів, які характеризують його поведінку. На різних етапах дослідження об'єкта математична модель може змінюватися залежно від урахування параметрів, які впливають на поведінку об'єкта. Дослідник складає моделі, спочатку прості, потім більш складні так, щоб у результаті побудувати прийнятну модель, яка відповідає поставленому завданню дослідження.

На сьогоднішній час математичне моделювання використовується для проведення експериментів і чисельної оцінки параметрів об'єкта. Цей метод передбачає побудову діючої математичної моделі об'єкта, яка має властивості, подібні властивостям і співвідношенням реального об'єкта (оригіналу). При цьому виникає можливість імітувати роботу об'єкта у широкому діапазоні умов і приймати рішення відносно оптимізації його характеристик.

Вибираючи модель, необхідно перш за все ураховувати основні характеристики і параметри об'єкта, при цьому математична модель повинна бути відносно простою і зрозумілою для тих, хто її використовує, і достатньо складною, щоб з необхідним ступенем точності відображати об'єкт, який вивчається.

Об'єктомдослідження (оригіналом) у нашому випадку є літальний апарат – ракета.

Виходячи з того що траєкторія польоту ракети має дві характерні ділянки, розглянемо рівняння руху ракети для цих основних ділянок траєкторії – АДТ і ПДТ. Ці рівняння дозволяють визначити основні параметри руху та елементи траєкторії польоту ракети в різні часові інтервали при об'єктивно діючих факторах середовища, в якому відбувається рух.

Кількість і характер рівнянь залежать від потрібної точності визначення траєкторії, від необхідності врахування впливу тих чи інших факторів на політ ракети, а також від системи координат, в якій розраховується траєкторія.

Для отримання відносно простої і зрозумілої моделі ракети приймемо ряд припущень.

По-перше, ракета в будь-який момент часу розглядається як абсолютно жорстке тіло, тобто не враховуються пружність ракети і наявність рідинного палива в баках.

По-друге, вважається, що в будь-який момент руху центр тиску ракети збігається з її ЦМ, а навколо ЦМ діє стабілізувальний момент тангажу.

По-третє, не враховується обертання Землі, тобто стартову СК  можна розглядати як базову СК на всіх ділянках траєкторії.

По-четверте, всі ділянки польоту лежать в одній площині – площині стрільби.

По-п'яте, припустимо, що сила тяжіння не змінює свого напрямку на всій траєкторії польоту.

При прийнятих припущеннях політ ракети обмежується однією площиною – площиною стрільби.

 

Рівняння руху ракет на активні ділянці

Траєкторії

 

Відомо, що АДТ польоту ракети визначається роботою її двигуна і системи управління, яка утворює управляючі сили, за допомогою рульових пристроїв. Ці сили (внутрішні) забезпечують політ ракети за заданою траєкторєю.

До зовнішніх сил, які враховуються на цій ділянці траєкторії, відносять силу тяжіння , яка утворюється тяжінням Землі, та аеродинамічні сили, що діють на ракету під час її польоту в щільних шарах атмосфери.

З урахуванням прийнятих припущень на ракету діє стабілізувальний момент тангажу  і управляючий момент  відносно бокової осі.

На рис. 5.1 схематично подано розташування основних сил і моментів, що діють на ракету, яка здійснює політ, на активній ділянці траєкторії.

Рисунок 5.1– Сили і моменти, що діють на ракету

 

Для отримання рівнянь руху ракети у площині стрільби скористаємось основними принципами механіки руху, відповідно до яких рух ракети можна розглядати як поступальний рух ЦМ ракети і обертальний рух відносно ЦМ в площині пуску (стрільби).

Вихідним рівнянням поступального руху ракети є рівняння руху тіл змінної маси – рівняння І.В. Мещерського (1.10):

,                      (5.1)

де – сума сил, що діють на ракету в польоті.

 

Вихідним рівнянням обертального руху в площині стрільби є рівняння моментів відносно бокової осі:

.                        (5.2)

Для отримання рівнянь поступального руху рівняння (5.1) спроектуємо на осі швидкісної системи координат  і , що дозволить визначити, які сили впливають на величину швидкості – проекція усіх сил на вісь , а які на напрям швидкості – проекція усіх сил на вісь .

Як бачимо із рис.5.1, вісь  дотична до траєкторії польоту літального апарата, а вісь  є її нормаль, тому повне прискорення  в рівнянні (5.1) проектується на вісь  як тангенціальне (яке дорівнює

,

тому щозбігається з напрямком вектора швидкості), а на вісь  – як нормальне  (яке дорівнює

 

,

 

де  радіус кривизни траєкторії).

Із механіки відомо, що прискорення, спрямоване по нормалі до траєкторії, визначається як

 

            (5.3)

за умови ,

 

де швидкість руху ракети; кутова швидкість розвороту ракети в площині стрільби.

 

Тепер спроектуємо всі сили, які діють на ракету (5.1), на дотичну до траєкторії руху (вісь  швидкісної системи координат) (рис. 5.1), та відповідно отримаємо перше рівняння моделі:

(5.4)

Після перенесення з лівої до правої частини  та нескладних перетворень отримаємо:

. (5.5)

Рівняння (5.1) в проекції на вісь  є другим рівнянням моделі і має такий вигляд:

,

і остаточно:

.   (5.6)

Третє рівняння моделі визначає обертальний рух ракети навколо осі  і є рівнянням моментів:

 

, (5.7)

 

де  момент інерції ракети відносно бокової осі ; – кутове прискорення ракети відносно осі .

 

З урахуванням того що , третє рівняння має вигляд:

.          (5.8)

До цих рівнянь додається четверте рівняння моделі, яке визначає зв'язок між кутами тангажу , кидання (нахилу траєкторії)  і атаки :

.                         (5.9)

Ці чотири рівняння описують рух ЦМ ракети і навколо її ЦМ, визначаючи при цьому такий основний параметр руху, як величина і напрям швидкості, з урахуванням сил та моментів, які діють на ракету під час її польоту.

П’яте та шосте рівняння – визначають швидкість ЦМ ракети у стартовій системі координат , його ми отримаємо, спроектувавши вектор швидкості ракети на осі  і :

,    (5.10)

де  і відповідно дальність і висота польоту ракети відносно точки старту.

 

Координати ЦМ ракети у стартовій системі відліку визначаються в результаті інтегрування рівнянь (5.10):

          (5.11)

Сьоме рівняння характеризує ракету як тіло змінної маси, визначаючи зміну маси ракети в польоті:

 

,                                    (5.12)

де  – поточна маса ракети в польоті як функція часу;  – стартова маса ракети;  – секундна витрата палива;  – час польоту.

Траєкторія руху ракети на АДТ розраховується і задається заздалегідь у вигляді програми зміни кута тангажу  за часом, де час вертикального підіймання,  час програмного розвороту;  час розгону.

Восьме рівняння моделі визначає програмну зміну кута тангажу на АДТ, яке у загальному вигляді можна подати як  чи

                          .               (5.13)

І останнє, дев'яте рівняння, описує роботу системи управління ракети за каналом тангажу і визначає закон зміни кута відхилення рулів ракети :

 

,        (5.14)

 

де дійсне значення кута тангажу; програмне значення кута тангажу.

 

Система рівнянь 5.15 є математичною моделлю руху ракети в площині стрільби. Ці рівняння без введення додаткових спрощень не інтегруються, тобто не може бути отриманий розв’язок їх у квадратурах чи елементарних функціях. Це в першу чергу пояснюється тим, що опір середовища, в якому відбувається рух, не може бути поданий у вигляді аналітичної залежності, оскільки функції, які виражають повну аеродинамічну силу (а точніше, безрозмірні аеродинамічні коефіцієнти C_X. С_Y, C_Z, що входять до складу повної аеродинамічної сили), і зміна щільності повітря з висотою  задається, як правило, за допомогою таблиць або графічно. За наявності підінтегральної функції, що не має простого аналітичного виразу, розділення змінних не можливе і виникає необхідність у застосуванні наближених методів. Останні розділяються на дві основні групи:

- наближені аналітичні методи розв’язання спрощених рівнянь руху;

- методи чисельного інтегрування систем рівнянь.

Наближені аналітичні методи дозволяють знайти як загальний аналітичний розв’язок рівнянь руху, так і частинний розв’язок. Спрощення в основному зводиться до заміни дійсних значень  і їх наближеними виразами. Аналітичні методи частіше за все використовують при дослідженнях польоту ЛА в безповітряному просторі, а також для розв’язання деяких задач руху ЛА в повітрі, які не потребують значної точності.

Під час розв’язання задач теорії польоту на ЕОМ значного поширення отримали методи чисельного інтегрування. На сьогоднішній день вони є основним засобом визначення параметрів траєкторій ЛА.

Методи чисельного інтегрування дозволяють обчислити значення інтеграла від функції, що задана табличним способом. У цьому випадку використовується так звана інтерполююча функція, яка під знаком інтегралу замінює дійсну функцію, аналітичний вигляд якої невідомий.