Теплопроводность через многослойную стенку при граничных условиях III-го рода.

Передача тепла от одной жидкой среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде. Пусть плоская однородная стенка имеет толщину δ (рис. 2). Заданы коэффициент теплопроводности λ, температуры окружающей среды t _Ж1 и t _Ж2, а также коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂. Будем считать, что t _Ж1, t _Ж2, α₁ и α₂ постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры жидкостей и стенки только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной, а также температуры на поверхностях стенки.

Удельный тепловой поток от горячей жидкости к стенке определяется из закона Ньютона-Рихмана уравнением: q = α₁*(t _Ж1 – t _{C 1} ). При стационарном тепловом режиме тот же тепловой поток пройдет путем теплопроводности через твердую стенку: q = λ/δ*(t _{C 1} - t _{C 2} ). Этот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:        q = α₂*(t _С2 – t _Ж2 ). Аналогично решению для многослойной плоской стенки выразим температурные напоры и почленно сложим правые и левые части, тогда:                                                    t _Ж1 – t _Ж2 = q*(1/ α₁ + δ/λ + 1/α₂). Выразим плотность теплового потока:                                         q = (t _Ж1 – t _Ж2)/(1/ α₁ + δ/λ + 1/α₂) = k * (t _Ж1 – t _Ж2), где k = (1/ α₁ + δ/λ + 1/α₂) - коэффициент теплопередачи, характеризующий интенсивность передачи тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку, имеет ту же размерность, что и коэффициент теплоотдачи, численно равен количеству тепла, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи и для однослойной стенки запишется как: R =1/ k = 1/ α₁+ δ/λ+1/α₂. Из этого выражения видно, что полное термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений: R ₁ = 1/ α₁ – термического сопротивления теплоотдачи от горячей жидкости к поверхности стенки;   R_C = δ/λ – термического сопротивления теплопроводности стенки;         R ₂ = 1/ α₂ – термического сопротивления теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости. Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то в случае многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление теплопроводности каждого слоя. Тогда полное термическое сопротивление теплопередачи через многослойную стенку: R =1/ k = 1/ α₁+ δ₁/λ₁+ δ₂/λ₂+…+ δ _n /λ _n +1/α₂ = 1/ α₁ + ∑δ _i /λ _i +1/α₂. Отсюда коэффициент теплопередачи многослойной стенки: k =1/(1/ α₁ + ∑δ _i /λ _i +1/α₂). Удельный тепловой поток через многослойную стенку, состоящую из n слоев:

q = (t _Ж1 – t _Ж2)/(1/ α₁ + ∑δ _i /λ _i +1/α₂) = k *(t _Ж1 – t _Ж2). Тепловой поток через поверхность стенки: Q = q * F = k * F *Δ t. Температуры поверхностей однородной стенки можно найти как: t_{C 1} = t _Ж1 – q/ α₁; t_{C 2} = t _Ж1 – q *(1/ α₁+ δ/λ) = t _Ж2 + q/ α₂. Для многослойной стенки температура на границе соприкосновения двух слоев n и n + 1 при граничных условиях третьего рода может быть найдена из уравнения: t_{C ( n +1)} = t _Ж1 – q *(1/ α₁ + ∑δ _i /λ _i).

33. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку при граничных условиях I-го рода.

 Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в бесконечной цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d ₁ и наружным диаметром d ₂ (рис. 1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ. На наружных поверхностях трубы поддерживаются постоянными значения температуры t _С1 и t _С2. Необходимо найти распределение температуры в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее. В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат (ось Оz совмещена с осью трубы):

Ñ ² t =  =0. Так как труба бесконечная и изотропная, то дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид  +  = 0. Граничные условия: при r = r _1, t = t _{C 1}; при r = r ₂ t = t _{C 2}. Если решить уравнение совместно с условиями, то получим уравнение температурного поля в цилиндрической стенке. Задача решается введением новой переменной:

t = C ₁ * ln (r) + C ₂. Постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ можно определить, если в уравнение подставить граничные условия: t = t_{C 1} – (t_{C 1} - t_{C 2})*(ln (r / r ₁)/ ln (r ₂ / r ₁)). Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим. В случае плоской стенки удельный тепловой поток q остается одинаковым для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменной, так как величина поверхности зависит от радиуса. Для определения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность величиной: F = 2 π * r * l в единицу времени, следует воспользоваться законом Фурье:                                                                                               Q = -λ*(dt / dr)* F = (2 π* λ* l *(t_{C 1} - t_{C 2}))/ ln (r ₂ / r ₁). Из уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса. Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. Тогда расчетные формулы для удельных тепловых потоков примут следующий вид.

Тепловой поток через единицу внутренней поверхности:                                                                   Q /(π * r ₁ * l) = q ₁ = (2 *λ*(t_{C 1} - t_{C 2}))/ r ₁ * ln (r ₂ / r ₁).

Тепловой поток через единицу внешней поверхности:                                                                       

Q /(π * r ₂ * l) = q ₂ = (2 *λ*(t_{C 1} - t_{C 2}))/ r ₂ * ln (r ₂ / r ₁).

Тепловой поток на единицу длины трубы: Q / l = q _l = (π* (t_{C 1} - t_{C 2}))/((1/2*λ)* ln (r ₂ / r ₁)). Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, имеет размерность Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Как видно из уравнения, при неизменном отношении диаметров линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки. Плотности теплового потока через внутреннюю и внешнюю стенки неодинаковы, причем первая больше второй.

 

34. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку при граничных условиях III-го рода.

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним диаметром d 1 и наружным диаметром d ₂ (рис. 1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ.  Заданы постоянные температуры подвижных сред t _Ж1 и t _Ж2, а также постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы α₁ и α₂. Необходимо найти температуры поверхностей цилиндрической стенки t _С1 и t _С2 и тепловой поток через нее.

Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями тепла с торцов трубы можно пренебречь и при установившемся тепловом режиме количество тепла, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же. Так же, как в случае плоской стенки, выразим плотности теплового потока для теплопроводности и двух процессов теплоотдачи. Выразим температурные напоры и почленно сложим уравнения:                               t _Ж1 – t _Ж2 = q_l / π*((1/(α ₁ * d ₁)+(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁)+(1/(α ₂ * d ₂)).

Тогда линейная плотность теплового потока определяется как:                                                       q_l = π*(t _Ж1 – t _Ж2)/ ((1/(α ₁ * d ₁)+(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁)+(1/(α ₂ * d ₂)).

Обозначим выражение: k_l = (1/(α ₁ * d ₁)+(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁)+(1/(α ₂ * d ₂),

Тогда уравнение теплопередачи запишется так: q_l = π*(t _Ж1 – t _Ж2)/ R_l.

Величина k_l называется линейным коэффициентом теплопередачи. Она характеризует интенсивность передачи тепла от одной подвижной среды к другой через разделяющую их стенку. Значение k_l  численно равно количеству тепла, которое проходит через стенку трубы длиной один метр в единицу времени от одной жидкой среды к другой при разности температур между ними в один градус. Величина R _l = 1/ k _i, обратная коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи:                                                  R _l = (1/(α ₁ * d ₁)+(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁)+(1/(α ₂ * d ₂), ([м*К)/Вт]. Отдельные составляющие полного термического сопротивления представляют: R _{l 1} = 1/(α ₁ * d ₁) и R _{l 2} = 1/(α ₂ * d ₂) – линейные тепловые сопротивления теплоотдачи на соответствующих поверхностях;                       R_{l с} =(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁) - линейное тепловое сопротивление теплопроводности стенки.

В отличие от термических сопротивлений теплоотдачи для плоской стенки здесь термические сопротивления теплоотдачи зависят не только от коэффициента теплоотдачи, но и от диаметра стенки. Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к внутренней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового потока, отнесенную к единице соответствующей поверхности трубы: q ₁ = Q /(π* d ₁ * l) = (k _l / d ₁)*(t_Ж1 – t_Ж2), а в свою очередь:   q ₂ = Q /(π* d ₂ * l) = (k _l / d ₂)*(t _Ж1 – t _Ж2). Обозначим k ₁ = k _l / d ₁  и k ₂ = k _l / d ₂, тогда             k _l = k ₁ * d ₁ = k ₂ * d ₂, следовательно, q ₁ = k ₁ * (t_Ж1 – t_Ж2) и q ₂ = k ₂ * (t_Ж1 – t_Ж2).

Температуры поверхностей цилиндра: t _С1 = t _Ж1 – (q _l / π)* 1/(α ₁ * d ₁) и                                     t _С2 = t _Ж2 + (q _l / π)* 1/(α ₂ * d ₂). В случае теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку линейная плотность теплового потока определяется как:

q _l = π*(t _Ж1 – t _Ж2)/(1/(α ₁ * d ₁)+(1/2)*∑(1/ λ _i)* ln (d _{( i +1)} / d _i)+ 1/(α ₂ * d_{n +1}), [Вт/м]

или q _l = π*k _l *(t _Ж1 – t _Ж2).

Величина R _l называется полным термическим сопротивлением теплопередачи многослойной цилиндрической стенки и равна:                                                                                                                              R _l = 1/ k _l = (1/(α ₁ * d ₁)+(1/2)*∑(1/ λ _i)* ln (d _{( i +1)} / d _i)+ 1/(α ₂ * d_{n +1}).

Температуры стенок: t_{C ( m +1)} = t _Ж1 – (q_l / π)* (1/(α ₁ * d ₁)+(1/2)*∑(1/ λ_i)* ln (d _{( i +1)} / d_i)).

Критический диаметр цилиндрической стенки: Линейное термическое сопротивление теплопередачичерез цилиндрическую стенку: R _l = (1/(α ₁ * d ₁)+(1/2* λ)* ln (d ₂ / d ₁)+(1/(α ₂ * d ₂), ([м*К)/Вт]. Исследуем функцию вида: R _l = R _l (d ₂). Функция непрерывна и дифференцируема:

d R _l /d(d ₂) = 1/(2 π* d ₂) – 1/(α ₂* d ₂²) = 0. Найдем критическую точку:  1/d ₂ = (1/2 λ -1/(α ₂* d ₂)) =0, тогда d2 = 2 λ/ α ₂ – это критическая точка.

d² R _l / d(d ₂)² = 1/(2 λ* d ₂²) + 2/(α ₂* d ₂³) = 1/ d ₂²*(2/ (α ₂* d ₂) – 1/2 λ).

(2/ (α ₂* d ₂) – 1/2 λ) = 2 α ₂/(α ₂*2 λ) – 1/2 λ = 1/ λ*(1-0,5) = 0,5 λ>0, т.о. при d ₂ = 2 λ/ α ₂, термическое сопротивление цилиндрической стенки минимальное.