Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности для процессов теплопроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности: Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки. При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с (теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной q_v — количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени. В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQ_ВНУТР. и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности Dq _ТЕПЛ... за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме: dQ_ВНУТР. + dQ_ТЕПЛ. = dU.

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ: dQ_{x 1} = q_x * dy * dz * d  = -λ*  * dy * dz * d .  На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение  * dx и будет составлять   t +  * dx. Количество тепла, отведенного через эту грань: dQ_{x 2} = -λ*  (t +  * dx) * dy * dz * d . Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:             dQ _X = dQ_{X 1} – dQ_{X 2} = λ* dx * dy * dz * d . Аналогично: dQ _Y = dQ_{Y 1} – dQ_{Y 2} = λ* dx * dy * dz * d

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности: dQ_m = dQ_X + dQ_Y + dQ_Z = λ*  * dx * dy * dz * d  

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников: dQ _ВНУТ. = q _ν * dν * dτ. Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры : dU = c *ρ* dv*  Подставляя выражения для dQ_m, dQ_ВНУТ. и dU в уравнение, после соответствующих сокращений получаем: с*ρ*  = λ*  + q _ν. Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом: = Ñ ² t. Величину λ/(ρ* c) называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение примет вид:  = a * Ñ ² t + q _ν /(ρ* c). Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

Краевые условии(Условия однозначности): Дифференциальное уравнение описывает в самом общем виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности.   Существуют различные условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает про­цесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов:   1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени;   2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени;   3) третьего рода, задаются температура окружающей среды t_Ж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана: d² Q_τ = α*(t_C – t _Ж)*dF*dτ, где t_С — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, q = d² Q_τ /(dF * dτ) = α*(t_C – t _Ж). Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности: α*(t_C – t _Ж) = -λ*( ) _C. Переписав последнее уравнение в виде: ( ) _C = - (α/λ)* (t_C – t _Ж), получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.