Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство этих признаков.

a

Q

P

A1 M1  B1

A   M   B

Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Теорема. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются (параллельны).

Дано: а – прямая;

Доказать:  

Доказательство:

1) Допустим, что   Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.

2) Так как  то луч РА наложится на луч РА₁. Аналогично луч QB наложится на луч QB ₁.

3) Если   то эта точка наложится на некоторую точку М₁, также лежащую на прямых АА₁ и ВВ₁, т. е.  

4) Тогда через две точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются, а значит,  по определению параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

b

1

O

H1

H

B

B

A

A

b

a

a

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что a II b.

1)

2)    Проведем   через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH ₁ = AH. Проведем отрезок О H ₁.

3) Рассмотрим ∆ AHO и ∆ BH ₁ O.

4) Из

5) Из

6) Из

7)

a

3

4

2

1

c

b

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)

2)    и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180 °, то прямые параллельны.

Дано:     Доказать:

Доказательство:

1)

2)    и являются внутренними накрест лежащими

Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным второму катету и острому углу.

Дано: а и ∠ А. Найти с, b и ∠ В.

Решение. Имеем:

с = a / sin A; b = a / tg A; ∠ B = 90 ∘ − ∠ A

Задача «Углы в окружности».

Билет № 5

Определение вписанного угла. Доказательство теоремы об измерении вписанного угла.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема о градусной мере вписанного угла. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Р

Е

Т

C

B

А

C

B

А

O

O

Доказательство:

Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

OA = OB = R Þ Δ АОВ – равнобедренный Þ

Ð ОАВ = Ð ОВА (углы при основании равнобедренного Δ АОВ).

Ð СОВ – внешний угол Δ АОВ Þ

Ð СОВ = Ð ОАВ + Ð ОВА = 2 Ð ОАВ.

Ð СОВ – центральный угол Þ Ð СОВ = È СВ

Ð САВ = Ð ОАВ = 0,5 Ð СОВ = 0,5 È СВ.

Центр окружности лежит внутри вписанного угла.