![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приближение измеримых функций простыми
1. Определение измеримых функций
Пусть Определение. Функция
Если Определение. Пусть
Отметим, что Непрерывная функция Теорема 5.1. Доказательство. Так как множество Пусть теперь
Следовательно,
значит,
2. Операции над измеримыми функциями
Так как для
а для
то из измеримости функции Так как для
то из измеримости функции Теорема 5.2. Если функции Доказательство. Пусть
Каждое из множеств Заметим, что измеримой будет и функция Следствие. Если функции
Доказательство. Измеримость
Далее
3. Последовательности измеримых функций
Теорема 5.3. Если Доказательство. Имеем Пусть для
Отсюда будет следовать измеримость Если Обратно, если
4. Приближение измеримых функций простыми
Определение. Функция
Простая функция измерима; сумма и произведение простых функций также является простой функцией. Теорема 5.4. Пусть функция
Доказательство. Для Если
Значит, Если
Это доказывает, что Следствие 5.1. Пусть функция Доказательство. Пусть
Тогда
Последовательность простых функций
Следствие 5.2. Если функция Доказательство. Пусть
Тогда, очевидно, что для
ЛЕКЦИЯ 9 Пространство с мерой. Теорема Д.Ф. Егорова. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса. 1. Пространство с мерой
Определение. Тройка Будем предполагать, что Говорят, что некоторое свойство выполняется Определение. Функции Отметим, что эквивалентные функции измеримы одновременно. Если
2. Теорема Д.Ф. Егорова
Теорема 6.1. Пусть
Доказательство. Пусть
Каждое из множеств и, ввиду сходимости
Для всякого
Положим
и
Докажем равномерную сходимость
Это доказывает равномерную сходимость на последовательности функций
3. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса
Определение. Последовательность
Теорема 6.2. Если Доказательство. Положим для
Для всех
следовательно,
Переходя к пределу при
так как Теорема 6.3. Если Доказательство. Пусть
поэтому Теорема доказана. Обратное утверждение неверно. Для примера возьмем меру Лебега
Вместе с тем, какую бы точку Теорема 6.4. Если Доказательство. Вследствие и последовательность измеримых множеств
Положим
то, вследствие непрерывности меры,
Если
Это доказывает, что
4.
Теорема 6.5. Пусть Доказательство. Напомним, что для Пусть
Положим
Сужение Покажем, что
Очевидно, включение
Установим обратное включение. Имеем поэтому
что вместе с (6.3) дает (6.2). Если
Тогда учитывая (6.2), получим Так как множество По следствию 4.2 существует такое замкнутое в
Следствие 6.1. Пусть функция
Если при этом Доказательство. Пусть
Если
ЛЕКЦИЯ 10
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-01; просмотров: 598; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.108.33 (0.106 с.) |