Системы дифференциальных уравнений.

 

Система дифференциальных уравнений вида

, где х₁, х₂, …, х_n- неизвестные функции переменной t,

 

называется нормальной системой.

 

Разделив (1) на (2) получим первую интегрируемую комбинацию откуда и

В некоторых случаях удаётся, комбинируя уравнения системы, получить после некоторых преобразований легко интегрируемые уравнения, что и позволяет отыскать решение системы. Метод этот называют методом интегрируемых комбинаций.

Пример: .

 

Умножим (1) на 2, (2) на 3 и сложив получим вторую интегрируемую комбинацию: откуда .

Из системы уравнений (3) и (4) находим общее решение исходной системы:

Некоторые нормальные системы дифференциальных уравнений удаётся свести к одному уравнению n- ого порядка, содержащему одну неизвестную функцию.

Сделать это можно дифференцируя одно из уравнений системы и исключая все неизвестные кроме одной. Этот метод называют методом исключений

Пример: . Продифференцируем (1) по t: . Подставив из (2) получим: - решая линейное уравнение второго порядка найдём к²-1=0; и к_1,2= подставив в (3) получим и Подставив х в (1) найдём

Тесты

4.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением является:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

4.2. Какая из функций – общее решение уравнения ?

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

4.3. Для какого из уравнений справедлива теорема существования единственности решения?

1) ; 2) .

4.4. Решение уравнения можно представить двумя способами: 1) и 2) . Что есть общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения?

4.5. Какое из уравнений с разделяющимися переменными?

1) ; 2) ; 3) .

4.6. Дано уравнение . Решение уравнения?

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

4.7. Какое из уравнений линейное неоднородное первого порядка?

1) ; 2) ; 3) .

4.8. Дано уравнение . Решение?

1) ; 2) ; 3) .

4.9. Какое из уравнений допускет понижение порядка?

1) ; 2) ; 3) .

4.10. Дано уравнение ; Его следует решить используя замену переменной вида:

1) ; 2) .

4.11. Дано уравнение и начальные условия: , . Искомое частное решение:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

4.12. Дано уравнение . Оно:

1) Линейное однородное; 3) Нелинейное однородное;

2) Линейное неоднородное; 4) Нелинейное неоднородное.

4.13. Известны два частных решения уравнения второго порядка: , . Можно ли составить из них общее решение?

1) Да; 2) Нет.

4.14. Дано уравнение . Его общее решение имеет вид:

1) ; 2) ; 3) .

4.15. Какая из функций является функцией специального вида?

1) ; 2) ; 3) .

4.16. Дано уравнение и начальные условия ; ; Искомое решение:

1) ; 2) ; 3) .

4.17. Преобразуя систему из двух линейных дифференциальных уравнений получили выражения: 1) ; 2) ; 3) . Какое из них можно называть интегрируемыми комбинациями?

 

Ряды.

 

Числовые ряды.

 

Пусть u₁, u₂, …, u_n,... – бесконечная числовая последовательность, заданная формулой общего члена u_n = f(x), где n – номер члена. Выражение u₁ + u₂ + …+ u_n +... (10.1) называется числовым рядом, а числа u₁, u₂, …, u_n,... – членами ряда. Ряд удобно записывать в виде , где S – символ суммирования, сверху и снизу – пределы суммирования (номера первого и последнего членов), n – текущий индекс (номер члена).

Сумму первых n членов обозначают через S_n и называют n –ой частичной суммой ряда: S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n.

Ряд называют сходящимся, если его n –ная частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если n –ная частичная сумма ряда при n ® ¥ не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^n–1+ …; где |q| < 1 (10.2), составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму (10.3).

 

Приведём основные теоремы о сходящихся рядах.

 

1. Если сходится ряд (10.1), то сходится и ряд u_{m + 1} + u_{m + 2} + … (10.4)

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых m членов, т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа членов (ряд (10.4) называют m – ым остатком исходного ряда (10.1)).

2. Если сходится остаток исходного ряда, то сходится и сам ряд.

3. Если сходится ряд u₁ + u₂ + … и суммой его является число S, то сходится и ряд а u₁ + аu₂ + …, причем сумма последнего ряда равна aS.

4. Если сходятся ряды u₁ + u₂ + …, v₁ + v₂ +..., имеющие суммы S и s, то сходится и ряд ( u₁ + v₁) + (u₂ + v₂) + … причем сумма последнего ряда равна

S + s (последний ряд получен почленным сложением исходных рядов).

5. Если ряд u₁ + u₂ + … сходится, то , т.е. при n ® ¥ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю. Это необходимый признаксходимости; если он выполняется – ряд может сходиться (а может и расходиться), а если – ряд расходится. Ряд (10.5), называемый гармоническим, расходится (при том, что ).

Рассмотрим важнейшие достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и (2),

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. u_n £ v_n (n= 1, 2, 3,..). Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2). Отметим, что в соответствии со свойством (2) рядов, этот признак остается в силе, если неравенства u_n £ v_n выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

2. Второй (предельный) признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

3. Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при C > 1. При С = 1 вопрос о сходимости остается открытым (необходимо применить другой признак).

4. Признак Коши (радикальный). Если для ряда существует , то этот ряд сходится при D < 1 и расходится пр и D > 1. Случай D = 1 требует дополнительного исследования.

5. Интегральный признак. Если f(x) при x ³ 1 – непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где u_n = f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходитсяинтеграл .

Сходимость знакочередующихся рядов (рядов вида , где u_n > 0)

исследуется с помощью признака Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1. u₁ > u₂ > u₃ >… и 2. .

Если знакочередующийся ряд сходится, то n –ный остаток его удовлетворяет неравенству |R_n| < u_n+1, важному в приближенных вычислениях.

Знакочередующийся ряд – это частный случай знакопеременного ряда (с произвольным чередованием знаков членов). Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если знакопеременный ряд cходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся рядом.

Отметим, что если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный при произвольной перестановке бесконечного множества его членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд

сходится условно, то при перестановке бесконечного множества его членов сумма ряда может измениться. (В частности, условно сходящийся ряд можно превратить в расходящийся ряд).

 

Функциональные ряды.

Ряд u₁(х) + u₂(х) + …+ u_n(х) +... = , члены которого – функции от х, называется функциональным. При конкретных значениях х функции принимают различные значения и каждому значению х соответствует числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Совокупность значений х, при которых функции u_n(x) определены и ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда. Каждому значению х из области сходимости Х соответствует определенное значение величины . Эту величину, являющуюся функцией х, называют суммой функционального ряда и обозначают через S(x). Обозначив сумму первых n членов ряда через S_n(x), можно записать S(x) = S_n(x) + R_n(x), где R_n(x) = n –ый остаток функционального ряда. Если функциональный ряд сходится, то остаток его R_n(x) стремится к нулю при n ® ¥.

Функциональный ряд называют равномерно сходящимся в некоторой области, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдется такое целое

положительное N, что при n ³ N выполняется неравенство |R_n(x)| < e для любого х из этой области. Сумма S(x) равномерно сходящегося ряда

есть функция непрерывная в этой области. Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): Если функции u₁(х), u₂(х), …, u_n(х),... по абсолютной величине не превосходят в некоторой области положительных

чисел а₁, а₂, …, а _n,..., причем числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Равномерно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами:

1. Если , где u_n(х) – непрерывные функции, равномерно сходится в

некоторой области и имеет сумму S(x), то (интервал [ a, b]

принадлежит рассматриваемой области) сходится и имеет сумму .

2. Если функции u_n (х) – непрерывны в некоторой области и имеют в ней производные u_n`(х) то, если в этой области ряд сходится равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда: .

Степенные ряды. Степенным называют функциональный ряд вида а₀ + а₁(х – а) + а₂(х – а)² + …+ а_n(x – a)ⁿ +... = (10.6),

где а и а_n действительные числа. Числа а_n называют коэффициентами ряда. Основное свойство степенных рядов определяется теоремой Абеля: Если степенной ряд сходится при х = х₀, то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству | x – a| < |x₀ – a|.

Одно из следствий теоремы Абеля - существование для всякого степенного ряда интервала сходимости | x – a | < R (a – R < x < a + R) с центром в точке а. Внутри этого интервала ряд абсолютно сходится, вне его – расходится. На концах интервала, в точках х = а ± R, различные степенные ряды ведут себя по разному: могут сходиться (абсолютно или условно) или расходиться на любом или обоих концах интервала. Число R (половину длины интервала сходимости) называют радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости может быть равен нулю или стремиться к бесконечности. Если R = 0 то степенной ряд сходится лишь при х = а (в одной точке), если же R ® ¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно использовать следующие способы.

1. Если среди коэффициентов a_n ряда нет равных нулю, (ряд содержит все целые положительные степени разности х – а), то (10.7)

при условии, что этот предел (бесконечный или конечный) существует. (Соотношение (10.7) несложно получить из признака сходимости Даламбера).

2. Если общий член ряда имеет вид u_n = a_n(x – a)^pn, где р = 2, 3, … – целое положительное число, то (10.8).

3. Если среди коэффициентов ряда a_n есть равные нулю и последовательность показателей степени любая, то можно воспользоваться формулой (10.9) (В ней используются значения a_n отличные от нуля). Соотношение (10.9) можно использовать и в случаях 1 и 2.

4. Применить непосредственно признаки Даламбера или Коши (радикальный) к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда , где u₀ = a₀, u_n(x) = a_n(x –a)^N, где зависимость N от n может быть любой, а через а_n обозначается не коэффициент при (х – а)ⁿ, а коэффициент n – го члена ряда. В этом случае интервал сходимости находят из неравенств (10.10) или (10.11).

Отметим еще одно важное свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

 

Ряды Тейлора и Маклорена. В разделе 3.3 обсуждалось представление функции f(x), имеющей все производные по (n + 1) – ю включительно, с помощью формулы Тейлора в окрестности точки х = а. (3.31), где остаточный член R_n может быть представлен в виде (форма Лагранжа).

Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки х = а, то число n можно брать сколь угодно большим.

Если , то, переходя в (3.31) к пределу при n ® ¥, получим справа бесконечный ряд Тейлора: (10.12).

Ряд Тейлора сходится к данной функции.

Если в (10.12) положим а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена: (10.12`).

Для всякой элементарной функции существуют такие а и R, что в интервале (а – R, a + R) она разлагается в ряд Тейлора. Приведем наиболее часто используемые разложения.

; х Î (–¥, ¥) (10.13)

; х Î (–¥, ¥) (10.14)

; х Î (–¥, ¥) (10.15)

; х Î (–1; 1) (10.16)

; х Î [–1; 1] (10.17)

(10.18)

Последнее выражение называют биномиальным рядом и использовать его можно: при m ³ 0, если х Î [–1; 1]

при –1 < m < 0, если х Î (–1; 1]

при m £ –1, если х Î (–1; 1).

 

Приложение рядов к вычислению функций и интегралов.

Приведенные соотношения позволяют находить значения соответствующих функций от произвольного аргумента.

Пример: . Очевидно, 29 = 27 + 2 = 27(1 + 2/27).

Тогда

по формуле (10.18).

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и сумма отброшенных членов ряда не превышает по абсолютной величине первого отброшенного члена. Это значит, что, учитывая необходимое число членов ряда, искомое значение можно вычислить с любой требуемой точностью. По такому же алгоритму могут решаться и другие подобные задачи.

С помощью рядов можно вычислять и приближенные значения определенных интегралов. Подинтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора (полагаем, что функция удовлетворяет необходимым условиям), этот ряд почленно интегрируют и получают новый ряд, сходящийся к искомой функции.

Пример: вычислить с точностью до 10^–3:

(Можно отбросить уже 3–й член, поскольку он меньше требуемой точности).

Ряды Фурье.

Функциональный ряд вида (10.19)

называется тригонометрическим рядом. Постоянные a₀, a_n, b_n называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд (10.19) сходится, то его сумма j(х) – периодическая функция с периодом 2p, т.е. j(х) = j(х + 2p).

Вопрос – можно ли (и при каких условиях) найти тригонометрический ряд, сходящийся к заданной функции f(x) = f(x + 2p)? Предположим, что функция f(x) представлена рядом (10.19), сходящимся к данной функции на интервале (–p; p), т.е. (10.20).

Предположим также, что интеграл от функции f(x) равен сумме интегралов от членов ряда (10.20) (Это предположение справедливо для равномерно сходящихся в некоторой области Х рядов вида ). Проинтегрируем (10.20) в пределах от (–p; p)

, вычисляя отдельно каждый интеграл в правой части: ;

, откуда (10.21)

Прежде чем вычислить другие коэффициенты ряда, приведем несколько формул: Если n и k – целые числа и n ¹ k, то ; ; . Если n = k, то ;

; ;

Умножим обе части (10.20) на coskx (k ¹ 0):

(10.20`).

Этот ряд равномерно сходится и почленно интегрируется на любом отрезке. Проинтегрируем (10.20`) в пределах от –p; p:

; откуда (10.22).

Умножая обе части (10.20) на sinkx и интегрируя в тех же пределах, получим , откуда (10.23).

Коэффициенты, определенные соотношениями (10.21) – (10.23) называют коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (10.19) с такими коэффициентами – рядом Фурье функции f(x). Приведем теорему Дирихле о достаточных условиях представимости функции f(x) рядом Фурье.

Если функция f(x) в интервале [– p; p] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле), то ряд Фурье в каждой точке интервала [– p; p] сходится к функции f(x).

(Отметим, что если х₀ – точка разрыва первого рода функции f(x), то сумма ряда Фурье в точках непрерывности равна значению функции, а в точке х₀ (10.24).

За значение f(x) на каждой из границ интервала [–p; p] принимают величину (10.24 `).