Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Однородные уравнения первого порядка.
Функцию f(x, y) называют однородной m – го измерения, если при любом l справедливо равенство f(lx, ly) = lm f(x, y). Пример: , т.е., исходная функция – однородная второго измерения. Уравнение вида y` = f(x, y) (или приводимое к нему) называют однородным, если f(x, y) – однородная функция нулевого измерения, т.е. f(lx, ly)=f(x, y). С помощью подстановки у = tх однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции t = y/x. Пример: (1). Положим y = tx, откуда y` = t + xt`. Подставим в (1): . Разделяя переменные и интегрируя получим: (Логарифм произвольной постоянной есть произвольная постоянная, что и используем для упрощения записи). Возвращаясь к исходной функции получим: , откуда y= xlnC|y|.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида y` + P(x)y = Q(x) (9.4) (y и y` входят в первых степенях не перемножаясь между собой). Если Q(x) ¹ 0, уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0 – линейным однородным. (Если в уравнении (9.4) положим Q(x) = 0, то получим соответствующее ему однородное уравнение). Общее решение линейного однородного уравнения y` + Р(х)у = 0 легко получается разделением переменных: , где С – произвольная постоянная. Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти: а) Методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной) – исходя из решения соответствующего однородного уравнения и варьируя произвольную постоянную, т.е полагая , где С(х) подлежащая определению дифференцируемая функция от х. Для нахождения С(х) нужно подставить у в исходное уравнение, что приводит к соотношению откуда , где – произвольная постоянная. Искомое общее решение неоднородного уравнения примет вид (9.5). б) Методом Бернулли - подстановкой у = uv, где u и v – неизвестные функции от х, исходное уравнение преобразуется к виду u`v + uv` + P(x)uv = Q(x) (1) или u[v` + P(x)v] + vu` = Q(x) (2). Одна из неизвестных функций (v, например) может быть выбрана произвольно. Определим ее из условия v` + P(x)v = 0 (3), откуда (4). Подставляя (4) с учетом (3) в (2) получим , откуда и
Произведение произвольныx постоянных есть произвольная постоянная; без потери общности, можно положить С1 = 1; т.е. и . Примеры: 1. Решим уравнение y`cos2x + y = tgx методом Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение: y`cos2x + y = 0. Разделяя переменные, получим , откуда, интегрируя, найдем . Решение исходного уравнения ищем в виде у = С(х)е–tgx. Подставляя в исходное уравнение у` = C`(x)e–tgx – C(x)e–tgx (1/cos2x) получим: и
2. Решим уравнение y` – 2y(x + 1) = (x + 1)3 методом Бернулли. Полагаем y = uv, y` = u`v + uv` и, подставляя, найдем u`v + uv` – 2uv(x + 1) = (x + 1)3
откуда u`v – u(v` – 2v(x + 1)) = (x + 1)3 (1). Положим v` – 2v(x + 1) = 0, откуда . Подставим в (1): u`(x+1)2 = (x + 1)3 =>
du = (x + 1)dx и u = (x + 1)2 / 2 + C, откуда y = uv = (x + 1)4/2 + C(x + 1)2.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 134; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.89.82 (0.005 с.) |