Обратная задача кинематики манипуляторов роботов

При контурном управлении

Обратная задача кинематики манипуляторов является одной из основных задач кинематического и динамического анализа и синтеза манипуляторов.

Она решается при контурном управлении роботом, когда схват должен перемещаться по заданной в пространстве и времени траектории, и заключается в определении значений обобщенных координат манипулятора по заданному положению схвата. В результате решения обратной задачи должны быть определены в аналитической или табличной форме зависимости

При работе манипулятора положение схвата непрерывно меняется по заданному закону движения. При этом центр схвата будет описывать требуемую траекторию, а схват будет ориентирован в пространстве вполне определенным образом, то есть обратная задача решается по заданным зависимостям

Примеры заданных траекторий:

- раскрой листового материала (рис. 8.1а);

- сварка непрерывных швов на сложной пространственной поверхности (рис. 8.1б).

 

 

а)

б)

 

Рис. 8.1. Движение схвата по заданной траектории

 

Для обеспечения произвольного требуемого положения схвата в общем случае необходимо шесть степеней подвижности, три из которых – переносные – должны обеспечивать заданное положение схвата в пространстве, то есть заданные значения координат а другие три – ориентирующие – заданную ориентацию схвата:

Рис. 8.2. Возможные положения манипулятора

Если число степеней подвижности манипулятора меньше шести, то схват не сможет занять произвольное положение и на его положение и ориентацию будут наложены ограничения.

Если число степеней подвижности больше шести или больше заданных условий, то манипулятор приобретает свой­ство маневренности, в результате которой схват может занять требуемое положение при различных положениях промежуточных звеньев (рис. 8.2).

Избыточные степени подвижности можно использовать для удовлетворения каких-либо дополнительных условий, например для обхода препятствий.

В дальнейшем, если специально не оговорено, будут рассматриваться случаи, когда число степеней подвижности равно числу условий на движение схвата.

Рассмотрим несколько простых случаев решения обратной задачи кинематики манипулятора.

z

y

z

(

t)

x

(

t)

y

(

t)

q

q

q

A

A

A

A

Пример 1. Манипулятор с прямоугольной системой координат (рис. 8.3).

Задано: n = 3;

Определить:

Непосредственно по рисунку 8.3 можно установить, что:

Рис. 8.3. Манипулятор с прямоугольной системой координат

Равенство обобщенных координат требуемым координатам схвата явля­ет­ся важным и основным преимуществом мани­пу­ля­торов с прямоугольной системой координат, так как не требует сложных вычислений при определении управляющих воздействий.

Рис. 8.4. Манипулятор с цилиндрической системой координат

Пример 2. Манипулятор с цилиндрической системой координат (рис. 8.4).

Задано: n = 3, x₀₃(t), y₀₃(t), z₀₃(t).

Определить: q₁(t), q₂(t), q₃(t).

По рис. 8.4 можно определить:

Рис. 8.5. Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат

Пример 3. Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат (рис. 8.5).

Задано: x₀₂(t), y₀₂(t).

Определить: q₁(t), q₂(t).

Данную задачу можно решить, как и раньше, из чисто геометри­чес­ких соображений:

где:

 

Однако в этом случае может оказаться полезным и более общий подход, заключающийся в составлении уравнений, связывающих обобщенные и абсолютные координаты манипулятора, в частности такими уравнениями могут быть аналитические зависимости проекций характерных точек манипулятора.

Запишем уравнения проекций характерной точки А₂ схвата манипулятора на оси координат:

Решая эту систему уравнений относительно q₁ и q₂, можно определить требуемые законы движения по обобщенным координатам q₁(t) и q₂(t), уже в определенной степени абстрагируясь от конкретной схемы манипулятора.

Два последних примера показывают, что даже для простейших манипуляторов определение требуемых по заданной траектории движения схвата законов изменения обобщенных координат может представлять определенные трудности.

К настоящему времени прямого решения обратной задачи для манипуляторов общего вида не существует. В общем случае обратная задача кинематики манипуляторов решается алгоритмически, то есть численно.

Рассмотрим порядок решения обратной задачи с использованием методов нелинейного математического программирования, в частности одного из наиболее распространенных – градиентного метода.

Нелинейное математическое программирование имеет следующий алгоритм:

1. Составляется или определяется критериальная функция как функция некоторых свободных параметров (в данном случае – как функция обобщенных координат).

2. Составляется штрафная функция, выражающая дополнительные условия проектирования, и также зависящая от свободных параметров (от обобщенных координат).

3. Составляется целевая функция, в состав которой входят определенным образом критериальная и штрафная функции.

4. Выбирается метод нелинейного математического программирования и в соответствии с ним составляется алгоритм оптимизации критериальной функции как части целевой функции.

5. Разрабатывается расчетная программа, и производятся расчеты до выполнения определенных условий.

Изложим последовательность решения обратной задачи кинематики с использованием методов нелинейного математического программирования.

Вернемся к выражению .

Каждая матрица является функцией одной обобщенной координаты , которая в свою очередь, есть функция времени, то есть

Тогда матрица Т_0n есть функция всех обобщенных координат и времени:

Следовательно, и каждый из шести наддиагональных элементов этой матрицы также является функцией всех обобщенных координат манипулятора

, .

Пусть задан закон движения схвата, то есть заданы законы изменения его координат и углы ориентации:

.

(8.1)

Тогда можно записать матрицу-задатчик положений и ориентации схвата.

,

(8.2)

где ;

Положим, что в некоторый k-й момент времени t_k (k = 0,…,K) заданное положение схвата: совпадает с фактическим его положением, обеспечиваемым текущими значениями обобщенных координат.

Тогда ,

(8.3)

то есть

В следующий (k+1)-й момент времени t_k+1 элементы матрицы – задатчика (8.2) примут новые значения , рассчитанные по зависимостям (8.1).

Подставив эти новые значения в матрицу выражения (8.3), получим

.

(8.4)

Неравенство матриц и объясняется тем, что обобщенные координаты в матрице остались теми же, что были в момент t_k.

Рис. 8.6

Решение обратной задачи кинематики манипуляторов для общего случая заключается в том, чтобы определить численными методами, в частности методами нелинейного математического программирования, такие новые значения обобщенных координат, при которых бы неравенство (8.4) превратилось в равенство (8.3).

Значения обобщенных координат, при которых обеспечивается равенство матриц и , принимается за значения , соответствующие моменту времени t_k+1.

 

После этого (k+1)-е положение принимается за k-е и задается очередное новое положение манипулятора, то есть в полученное равенство вновь вносится рассогласование, которое должно быть устранено после определения очередных значений обобщенных координат. Процесс продолжается, пока не будут определены значения обобщенных координат для всех требуемых К положений манипулятора на заданной траектории.

Сформируем критериальную функцию. Так как целью решения является поиск таких значений обобщенных координат, при которых разность между заданным положением схвата и его фактическим положением равнялась нулю, то в качестве критерия следует принять параметр, отражающий эту разность. Например:

Рис. 8.7. Гипотетическая траектория вычислительного процесса (штриховая линия)

Здесь, значение i-й обобщенной координаты на шаге m вычислительного процесса (рис. 8.7) в ходе поиска новых значений обобщенных координат; индекс П, здесь и в дальнейшем, опускается. Возможная траектория вычислительного процесса (штриховая линия) представлена на рисунке 8.7.

Обобщенные координаты не могут принимать совершенно произволь­ные значения, так как перемещение по каждой степени подвижности может быть только в определенных границах (рис. 8.8): (i=1,…,n).

Рис. 8.8. Ограничения на движения манипулятора

по обобщенным координатам

 

В связи с этим для автоматического выполнения возможного диапазона изменений обобщенных координат вводятся штрафные функции в виде следующих ограничений на значения q_i:

где , – весовые коэффициенты штрафных функций, которыми можно регулировать их крутизну. Кроме указанных могут быть и другие ограничения.

В качестве целевой функции можно использовать функцию, являю­щуюся суммой критериальной и частных штрафных функций:

Примем в качестве метода поиска новых значений обобщенных координат q_i градиентный метод, выражающийся следующей зависимостью:

(8.5)

где – шаг по i-й обобщенной координате; – малое приращение i-й обобщенной координаты, используемое при определении частной производной по q_i.

Важно отметить, что в качестве первого приближения используется старое значение , то есть в начальный момент полагают

Вычислительный процесс приближения к значениям может быть прекращен по любому используемому в нелинейном программировании признаку. В частности, его можно закончить по условию здесь – допускаемая по точности воспроизведения траектории величина отклонений i-й обобщенной координаты.

Учитывая характер функции (8.5), в качестве окончательного следует принять значение

.

Отметим, что (m+1)-й шаг к (k+1)-й точке в процессе вычислений может осуществляться по различным алгоритмам, свойственным методам нелинейного программирования. При использовании собственно градиентного метода (m+1)-й шаг должен осуществляться одновременно по всем координатам после определения направления движения по антиградиенту.

Полученные значения обобщенных координат соотносятся с моментом времени t_k+1 и запоминаются. После этого в целевую функцию вместо значений подставляются значения наддиагональных элементов, соответствующие моменту времени t_k+2, которые и принимаются за . Затем вновь запускается вычислительный процесс, который заканчивается, когда будут определены значения обобщенных координат для всех назначенных реперных точек k, k=0,...,K. В результате получается таблица значений обобщенных координат , которую можно трактовать как функции , являющиеся решением обратной задачи кинематики манипулятора и представленные в табличном виде.

 

№	t			…		…
	t0			…		…
	t1			…		…
	t2			…		…
...	…	…	…	…	…	…	…	…
k	tk			…		…
...	…	…	…	…	…	…	…	…
K	T			…		…

 

При выборе количества точек на заданной траектории возникает следующее противоречие: для более точного воспроизведения траектории желательно назначать как можно больше реперных точек, но это потребует и большего машинного времени для решения обратной задачи. При редком задании точек схват может отклоняться от заданной траектории на недопустимую величину.

Таким образом, время, через которое следует назначать опорные точки, есть функция требуемой точности воспроизведения траектории.

После определения в табличном виде функций можно численно их продифференцировать и найти обобщенные скорости и ускорения, возникающие в каждой степени подвижности при реализации заданной траектории движения схвата.

Будем использовать для этого центральную разность.

Тогда:

Таким образом, будут получены функции , также в табличном виде. Чтобы формировать управляющее воздействие в виде непрерывных функций, а не табличных, целесообразно аппроксимировать табличные значения обобщенных координат, скоростей и ускорений. Для этого можно воспользоваться, например, интерполяционной формулой Лагранжа:

В результате будет получена непрерывная функция q_i(t), которая в фиксированные моменты времени k гарантированно проходит через точки .

Пример. Пусть при t₀ = 0с; t₁ = 2с; t₂ = 4с соответственно: .

Тогда:

Окончательно: .

 

8.2. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов
на основе линейной зависимости между абсолютными и обобщенными скоростями (управление по скорости)

Как известно, положение схвата манипулятора однозначно определяется его обобщенными координатами, а именно:

,

(8.6)

где: – вектор абсолютных координат схвата;

– вектор обобщенных координат манипулятора;

– число степеней подвижности манипулятора.

Дифференцируя (8.6) по времени, получим

,

(8.7)

где – матрица Якоби размерностью для преобразования (8.7).

В терминах рассматриваемой нами обратной задачи кинематики манипуляционных систем матрица Якоби (размерностью ) имеет вид:

Зависимость (8.7) более подробно можно представить следующим образом:

(8.8)

Зависимости (8.7) и (8.8) показывают, что между абсолютными скоростями и обобщенными скоростями существует линейная связь, однако коэффициенты в этой линейной связи переменные, так как элементы матрицы Якоби , которые образуют эти коэффициенты в различных сочетаниях, есть величины переменные.

Выражение (8.7) представляет собой прямую скоростную задачу и её решение при известных (заданных) функциях не представляет собой принципиальных трудностей.

Решим зависимость (8.7) относительно обобщенных скоростей , а именно:

(8.9)

Эта зависимость и есть решение обратной задачи по скорости, которая часто используется для управления манипуляционным роботом в режиме on-line.

При этом вектор обобщенных координат Q является неизвестным и значения приходится для данного момента времени (рассчитываемого момента реального времени) брать с датчиков обратной связи, фиксирующих текущее положение i-го звена относительно (i-1)-го, то есть значение .

В выражении (8.9) есть обратная матрица по отношению к матрице Якоби .

Рассмотрим более подробно последовательность решения прямой и обратной скоростных задач на примере простого манипулятора с двумя степенями подвижности (рис. 8.9).

 

Рис. 8.9. Манипулятор с двумя степенями подвижности

 

Прямая задача о положении:

(8.10)

При этом: .

Обратная задача о положении:

.

(8.11)

Даже для столь простого манипулятора решение обратной задачи представляет собой нелинейные зависимости.

Для более сложных манипуляторов, как правило, найти зависимость в явном виде не представляется возможным.

Однако зависимость необходима для управления манипуляционным роботом, так как требуемое движение схвата обеспечивается соответствующими движениями звеньев манипулятора по обобщенным координатам: .

В то же время, как было указано раньше (см. зависимость (8.9)), между обобщенными скоростями и абсолютными скоростями существует линейная связь с переменными коэффициентами. Именно поэтому часто и переходят к управлению по скоростям.

Получим требуемые зависимости между обобщенными и абсолютными скоростями для рассматриваемого нами двухзвенного манипулятора, используя общий подход, не прибегая пока к обратной матрице Якоби.

Пример решается с целью продемонстрировать порядок получения аналитических зависимостей для управления по скоростям, считая это решение обратной задачи в явном виде (подобно выражениям (8.11)) невозможным или нецелесообразным из-за сложности.

Поэтому начнём решение с дифференцирования формул (8.10) по времени

(8.12)

Введем обозначения:

; ; ; ;

(8.13)

Тогда:

(8.14)

Решим полученные зависимости (8.13), (8.14) относительно обобщенных скоростей и . Получим вначале явную зависимость от и для обобщенной скорости . Для этого умножим первую из зависимостей (8.14) на , а вторую на :

Вычтем из первого выражения второе: , и следовательно:

.

(8.15)

Для получения явной зависимости относительно умножим первое из выражений (8.14) на , а второе на . Тогда:

Вычитая из первого выражения второе, получим .

Откуда

(8.16)

Упростим выражения (8.15) и (8.16). Вначале упростим знаменатель дроби перед и , учитывая выражения (8.13),

Теперь выражения (8.15) и (8.16) можно записать в окончательном виде:

Или компактнее

(8.17)

В матричной форме выражения (8.17) имеют вид

.

(8.18)

Что и требовалось получить.

Выражения для обобщенных скоростей в форме (8.17) и (8.18) выше получены обычным путем алгебраических преобразований. Для сложных манипуляторных систем такой подход будет связан с громоздкими преобразованиями.

Для решения рассматриваемой задачи имеется более рациональный подход с использованием обратной матрицы Якоби.

Представим производные (8.12) и (8.14) по времени в виде выражений:

или в форме матриц:

(8.19)

Матрица, являющаяся первым сомножителем в правой части выражения (8.19), есть матрица Якоби.

Следовательно, выражение (8.19) можно записать в виде

.

(8.20)

Убедимся, что первый сомножитель в правой части выражения (8.20) есть матрица Якоби для рассматриваемого манипулятора.

 

Действительно, беря частные производные по и от правой части зависимости (8.10), получим

.

Данное выражение полностью совпадает с соответствующей матрицей выражения (8.19).

Получим обратную матрицу Якоби в следующей последовательности:

1. Матрица алгебраических дополнений исходной матрицы Якоби:

.

2. Присоединенная матрица – транспонированная матрица алгебраических дополнений:

.

3. Определитель исходной матрицы Якоби – Якобиан:

.

4. Обратная матрица Якоби

.

Как видно, полученное выражение полностью совпадает с первым сомножителем правой части зависимости (8.18) и, следовательно, выражение (8.9) полностью обосновано для рассмотренного примера.