Методи побудови математичних моделей

В інженерній практиці значне місце займає проблема побудови математичної моделі технологічного об'єкта з метою дослідження його й відшукання оптимальних умов роботи. Серед існуючих методів побудови математичних моделей виділяються два походи:

1. побудова теоретичної моделі на базі фізико-математичного, фізико-хімічного й іншого аналізу технологічного процесу.

2. експериментальна ідентифікація, при якій інформацію про процес одержують шляхом безпосереднього виміру.

Реальні технологічні процеси, як об'єкти керування й оптимізації, у більшості випадків є нестаціонарними, нелінійними, багатомірними з багатьма внутрішніми зворотними зв'язками, невелика або повністю відсутня апріорна інформація про форму й ступінь взаємозв'язку між параметрами в реальних умовах експлуатації. Тому, найбільш прийнятні в промислових умовах експериментальні методи ідентифікації.

По способі нагромадження експериментальних дані методи ідентифікації діляться на активні й пасивні методи. При проведенні пасивного експерименту здійснюється реєстрація параметрів, що цікавлять, у режимі нормального функціонування технологічного процесу. Як математичний апарат для визначення невідомих параметрів моделі найбільше часто використовується метод максимальної правдоподібності, зокрема метод найменших квадратів.

Активний експеримент (планований) заснований на введенні в досліджуваний технологічний процес штучних збурювань і забезпечує зменшення числа досвідів в експерименті, одночасне варіювання всіма факторами експерименту, сполучення евристичних і формальних підходів, наявність чіткої й обґрунтованої стратегії експерименту, економію часу й засобів на виконання експерименту.

Нехай дані результати N експериментів.

			...
			...

Потрібно побудувати модель, що дає найкраще наближення. Для обчислення коефіцієнтів моделі будемо використовувати метод найменших квадратів: сума квадратів відхилень експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі повинна бути мінімальна. Розглянемо побудову 3-х видів моделей: лінійну, квадратичну, експонентну. 3.2 Побудова лінійної моделі.

Потрібно за результатами експериментів побудувати лінійну модель . Розглянемо функцію:

Щоб знайти мінімальне значення цієї функції, обчислимо частки похідні й дорівняємо їх нулю. Одержимо систему рівнянь.

Розкриваючи дужки, одержимо

Для зручності обчислень, занесемо вихідні дані й розрахунки в таблицю.

i
…

Вирішуючи систему щодо коефіцієнтів й , одержуємо шукане рівняння моделі .

Приклад 3.1.

Дани результати 5 дослідів:

 

	-1,8	0,4	0,6		2,9
	1,6		0,8	0,6	0,5

 

1) Знайти коефіцієнти лінійної моделі методом найменших квадратів.

2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності.

3) Побудувати графік, застосовує .

 

1) Знайдемо коефіцієнти лінійної моделі методом найменших

квадратів. Треба по зазначеної формулі підібрати

коефіцієнти моделі й .

Побудуємо таблицю:

i
	-1.8	3.24	1.6	-2.88
	0.4	0.16		0.4
	0.6	0.36	0.8	0.48
			0.6	1.2
	2.9	8.41	0.5	1.45
	4.1	16.17	4.5	0.65

Отримуємо систему

Знайдемо и , вирішуючи систему рівнянь. Для того, виразимо коефіцієнт з другого рівняння системи

=

Підставимо у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо

16.17 +4.1(0.9-0.82 ) = 0.65.

Знайдемо коефіцієнти:

, 1.09457

Зазначена залежність

б) Знайти відхилення експериментальних результатів від результатів, отриманих по моделі

вихідні дані	результат
-1.8	1.6	1.521861	0.006106
0.4		0.999688	9.75E-08
0.6	0.8	0.952217	0.02317
	0.6	0.619925	0.000397
2.9	0.5	0.406309	0.008778
			0.038451

визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х у рівняння моделі

= - 0.23728 (-1.8) + 1. 09457 = 1.521861

.................................................................................

= - 0.23728 (0.5) + 1. 09457 = 0.406309

Відхилення:

...........................................................................

4) Побудуємо графік, застосовує

х		x*x	x*y
-1,8	1,6	3,24	-2,88	1,5218613	0,006106
0,4		0,16	0,4	0,9996877	9,75E-08
0,6	0,8	0,36	0,48	0,9522174	0,02317
	0,6		1,2	0,6199251	0,000397
2,9	0,5	8,41	1,45	0,4063086	0,008778
4,1	4,5	16,17	0,65		0,038451

3.3