Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Джерела похибки. Наближені числа. Абсолютна і відносна похибки наближеного числа.
На практиці в більшості випадків знайти точне рішення математичної задачі неможливо, тому що воно не виражається в елементарних функціях. Тому для відшукання рішення використовуються чисельні методи. Рішення, одержане чисельним методом, звичайно є наближеним, тобто містить деяку похибку. Джерелами похибки можуть бути: 1) невідповідність математичної моделі досліджуваному реальному процесу; 2) похибку вихідних даних; 3) похибку методу, що використовується; 4) похибку округлення. Оцінити похибку математичної моделі можна шляхом порівняння результатів експерименту і типових приватних рішень при фіксованих значеннях вхідних параметрів. Вплив похибки вихідних даних оцінюється шляхом варіювання вхідних перемінних у припустимих межах і фіксування результатів. Похибку методу виявляється при використанні наближених методів, в основі яких використовуються нескінченні процеси, що приводять у межі до точного рішення. Тому що число операцій обмежується, те отримане рішення є наближеним. При використанні комп'ютерів похибку округлення незначна, але при ручних розрахунках з великою кількістю операцій вона істотно може вплинути на похибку рішення. Виз. Нехай невідоме точне значення деякої величини, відоме наближене значення. Величина називається абсолютною похибкою наближеного числа . Виз. Величина має назву відносної похибки . Можна записати: . Виз. Будь-яке число , що задовольняє умові , називається граничною абсолютною (відносною) похибкою. Правило 1. При складанні і відрахуванні наближених чисел, їх граничні відносні похибки складаються. Правило 2. При множенні і розподілі складаються граничні відносні похибки наближених чисел.
Наближені методи рішення нелінійних рівнянь. Постановка задачі. Нехай дано рівняння . Необхідно знайти наближені значення коренів цього рівняння. Будемо припускати, що всі корені ізольовані, тобто кожний з коренів має окіл, що не містить інших коренів. Пошук наближених значень коренів здійснюється в 2 етапи: 1. Відділення відрізків, що містять ізольований корінь. 2. Відшукання наближеного значення кореня з заданою точністю на кожному виділеному відрізку. Для відділення відрізків з ізольованим коренем, сформулюємо теорему з математичного аналізу:
Th. Якщо функція , неперервна на , має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, тобто , то на міститься принаймні один корінь рівняння (мал.2.1). Якщо, крім того, похідна на , зберігає постійний знак, то корінь єдиний (мал.2.2).
Мал. 2.1. Мал. 2.2. Метод ітерацій. Розглянемо рівняння (2.1). Нехай – відрізок, що утримує єдиний корінь цього рівняння. Замінимо рівняння (2.1) рівносильним: (зручним для ітерацій) і нехай неперервна. Виберемо нульове наближення: і збудуємо послідовність наближень: (2.2). Якщо це послідовність, що сходиться, то її границя є коренем рівняння (2.1). Дійсно, якщо , то переходячи до границі в рівності (2.2) одержимо: Оскільки функція неперервна, то: отже - це корінь рівняння. Th. Нехай функція неперервне диференціюємо на і всі її значення належать , тоді якщо на задовольняє умові Ліпшица с const a, тобто для будь-яких справедливо: , де , то:
Похибку наближеного рішення, отриманого за методом ітерацій, визначається за формулою:
Покажемо на рисунках побудову послідовності наближених рішень за методом ітерацій.
Мал. 2.3. Наближення до кореня по "спіралі". Мал. 2.4. Наближення до кореня по "сходам". Як видно з рисунків наближення можуть сходитися до кореня з однієї сторони (Мал.2.4) чи з двох сторін (Мал.2.3). Метод Ньютона (дотичних). Хай відрізок, що містить ізольований корінь рівняння і функція , неперервна на разом з першою і другою похідними, причому обидві похідні зберігають постійний знак. Розглянемо окремий випадок. Хай: ; ; ; Мал. 2.5. Геометрична інтерпретація методу дотичних В якості вибираємо точку відрізка [а, b], для якої виконана умова , тобто знак функції в точці співпадає із знаком другої похідної. (на прикладі ). В точці В () проведемо дотичну до кривої. Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину дотичної з віссю 0х. В точці В 1 () проводимо дотичну і в якості вибираємо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох і так дали. В точці Вn() проводимо дотичну:
Абсциса точки перетину цієї дотичної з віссю Ох дає наближення , тобто підставляючи в рівняння (2.3), отримаємо .
Th. Нехай безперервна разом з і на відрізку , що містить єдиний корінь рівняння і обидві похідні зберігають на постійний знак. Тоді, виходячи з нульового наближення, що задовольняє умові , можна знайти, використовуючи метод Ньютона, наближене рішення з будь-яким степенем точності. Похибку наближеного рішення , отриманого по методу Ньютона, визначається формулою:
, де , .
Приклад 2.1. Відділити корінь рівняння графічно і знайти наближене рішення рівняння методом дотичних з точністю e = 0.005. Відділимо корінь. Побудуємо графіки функцій і . Абсциса точки їх перетину x- точне значення кореня. Складемо таблицю значень: Таблиця 2.1
Мал. 2. 6. Геометричний метод відділення кореня. Як видно з рисунка, корінь рівняння укладений в інтервалі [1;2]. Перевіримо це. Таким чином інтервал [1;2] містить принаймні один корінь. Знайдемо похідні: Обидві похідні зберігають в інтервалі [1;2] постійний знак, отже корінь єдиний. Виберемо нульове наближення з умови . Оскільки , то в якості вибираємо правий кінець інтервалу . Знаходимо перше наближення: Оцінимо похибку: Оскільки монотонно зростаюча функція на інтервалу [1;2], тоді . Оскільки - так само монотонно зростає на інтервалу [1;2], тоді Похибка першого наближення Обчислимо друге наближення: Оцінимо похибку другого наближення: Оскільки похибка менше заданої точності, то - шукане наближене значення кореня рівняння .
Метод хорд. Нехай – відрізок з єдиним коренем рівняння , і функція безперервна разом з і на , причому обидва похідні зберігають знак. Нехай:
; ; ; . Проведемо хорду, що сполучає точки і . Як перше наближення виберемо абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Через точку і точку проведемо хорду. Мал. 2.7. Геометрична інтерпретація методу хорд (нерухома точка ) Знаходимо , як абсцису точки перетину хорди з віссю Ох. Будуємо точку хорду і так дали. Рівняння хорди, що проходить через точки і , має вигляд: (2.4) Абсциса точки перетину хорди з віссю Ох дає наближення кореня рівняння. Підставимо в (2.4) , отримаємо . Виразимо наближення :
В наведеному приклад нерухомим залишався правий кінець відрізка (точка ). Розглянемо іншу ситуацію: ; ; ; .
|
|||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 195; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.109.61 (0.041 с.) |