Общие сведения о механических волнах

Если источник колебания (камертон, струна, мембрана и. т. д.) на- ходится в упругой среде, то он приводит в колебательное движение со- прикасающиеся с ним частицы среды. (Под частицей среды, совер- шающей вынужденные колебания, понимают малый элемент среды, размеры которого во много раз больше размеров молекул). Вследст- вие этого в прилегающих к источнику колебания частиц упругой сре- ды возникают периодические деформации (например, сжатия и рас- тяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояни- ям равновесия. Из-за взаимодействия соседних элементов среды уп- ругие деформации будут передаваться от одних участков среды к дру-

 

гим с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. Час- тицы среды совершают колебательные движения около положений равновесия. От одних участков среды к другим передается только со- стояние деформации. Чем дальше расположена частица от источни- ка колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Распространение деформации от источника возмущения — процесс достаточно слож- ный, так как одновременно совершаются и колебания частиц около положения равновесия, и поступательное движение состояния колеб- лющихся частиц без перемещения самих частиц вдоль заданного на- правления. Состояние колеблющейся частицы среды и источника от- личаются с увеличением расстояния между ними. Колебания во всех точках среды повторяют колебание источника с определенным запаз- дыванием, которое тем больше, чем больше расстояние от источника до точки среды. Если возмущения могут распространяться через уп- ругую среду на большие расстояния, то каждая частица среды совер- шает колебания около своего положения равновесия в ограниченной области пространства. От точки к точке в упругой среде передается энергия механических колебаний, а не поток вещества.

При изучении распределенных колебаний в среде обычно не учи- тывают дискретное (молекулярное) строение среды и не рассматри- вают колебательное движение отдельных молекул. Среда рассматри- вается как сплошная и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения возмущений (деформаций) с конечной ско- ростью в упругой среде, несущий с собой энергию без переноса вещества, называется волной или волновым процессом.

В большинстве случаев источниками любых волн являются ко- лебания.

Если источник совершает гармонические колебания, то и волна будет иметь форму синусоиды как в пространстве, так и во времени, причем каждая точка среды имеет свою амплитуду колебаний. Наи- более часто встречаются упругие волны.

Функция x = x(x, t) позволяет найти смещение от положения рав-

новесия любой из частиц упругой среды в любой момент времени. Колебательное движение определяет смещение как функцию вре- мени, а поступательное движение определяет зависимость функции

x = x(x, t) от положения х. Таким образом, x = x(x, t) — функция двух

переменных x и t.

 

Энергия, мощность (энергия, переносимая за единицу времени) и интенсивность (энергия, переносимая через единичную площадь поверхности за единицу времени) пропорциональны квадрату ампли- туды волны.

Амплитуда волны уменьшается по мере удаления ее от источни- ка обратно пропорционально расстоянию. Следовательно, энергия, мощность и интенсивность волн убывают по мере удаления от источ- ника обратно пропорционально квадрату расстояния.

Волны в упругой среде бывают продольные и поперечные.

Волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные упругие волны — это распространение деформации сжатия и растяжения. В жидких и газообразных средах распространяются только продольные волны. Объясняется это тем, что из-за текучести этих сред в поперечном на- правлении на частицы не действует возвращающая сила. Поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разрежений среды.

Это свойство помогло геофизикам сделать вывод о существова- нии жидкого ядра Земли, поскольку обнаружено, что в диаметраль- ном направлении сквозь Землю проходят только продольные волны, поперечные же никогда не регистрируются. Единственным возмож- ным объяснением этого является наличие у Земли жидкого (расплав- ленного) ядра.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в на- правлении, перпендикулярном направлению распространения вол- ны. Например, волна, бегущая по струне.

В твердых телах упругие волны могут быть как продольными, так и поперечными.

Поперечные упругие волны — это распространение деформации сдвига, возможное только в твердых телах, где источник колебания деформирует кристаллическую решетку, сдвигая ее ячейки друг от- носительно друга.

В среде, в которой распространяется волна, можно выделить мно- жество волновых поверхностей.

Волновой или фазовой поверхностью называются геометрическое место точек, в которых все частицы совершают колебания в одина- ковой фазе.

Волновые поверхности неподвижны. В зависимости от формы волновых поверхностей различают волны плоские, сферические, ци- линдрические и т. д.

Область среды, охваченная волновым движением, называется вол- новым полем.

Граница, отделяющая возмущенную область среды от невозмущен- ной, или геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени t, называется фронтом волны.

Фронт волны в отличие от волновых поверхностей все время пе- ремещается.

 

Основными параметрами волны являются:

1. Гребни (пучности) — высшие точки волнового движения.

2. Впадины — низшие точки волнового движения.

3. Амплитуда волны А — максимальная высота пучности или глу- бина впадины, измеренная относительно положения равновесия.

4. Длина волны l — расстояние между положениями ближайших частиц среды, колеблющихся со сдвигом фаз 2p (расстояние между

двумя соседними пучностями или соседними впадинами).

5. Частота n — число полных колебаний, совершаемых любой из частиц среды, в которой распространяется волна, за единицу време- ни (число гребней, проходящих через данную точку за единицу вре- мени).

6. Период волны Т — промежуток времени, в течение которого лю- бая частица среды совершает одно колебание (время, по истечении которого волна распространяется на расстояние, равное двум сосед- ним пучностям или гребням).

7. Циклическая частота w — число гребней, проходящих через дан- ную точку за время, равное 2p секунды (число полных колебаний, со-

вершаемых за 2p секунд). �

8. Скорость распространения волны u — скорость, с которой пе- ремещается пучность (впадина), вдоль заданного направления. Эту скорость называют фазовой скоростью, так как она характеризует пе- ремещение в пространстве фазы колебаний.

(Не путать со скоростью колеблющихся частиц. Например, в слу- чае поперечных волн скорость колеблющихся частиц перпендикуляр- на скорости распространения волны).

 

 

9. Волновой вектор

�

k – вектор, указывающий на направление

распространения волны, по модулю равный k = 2p, именуемый вол-

новым числом. l

Длина волны равна расстоянию, на которое волна распространя- ется за время, равное периоду, т. е. за период Т гребень проходит рас- стояние, равное длине волны l,

l = uT. (6.48)

Параметры волн связаны между собой соотношениями

u = l = ln = l w, (6.49)

 

так как

T 2p

T = 1 = 2p.

n w

Учитывая (6.48), получим

k = 2p = 2p = 2pn = w. (6.50)

l uT u u

Если колебания во всем пространстве имеют одинаковый пери-

од Т, следовательно, и одинаковую циклическую частоту w = 2p,

T

то волна называется монохроматической. Если при распростране-

нии колебаний не происходит потери их энергии (например, пере- ход механической энергии колебаний в тепловую), то колебания по мере удаления от источника не затухают и амплитуда колебаний по- всюду оказывается одинаковой. Такая волна называется незатухаю- щей. На практике упругие волны обладают конечным, хотя обычно малым затуханием. Упругие волны с частотой 16 £ n £ 20000 Гц на- зываются звуковыми или а кустическими. Они воспринимаются че- ловеческим ухом. В звуковой волне колебание в каждой точке среды совершает не только плотность среды, но и давление, а также тем- пература. Распределение давления звуковой волны в пространстве называется звуковым полем.

 

Виды волн

Вид волн определяется источником колебания. Если источник ко- лебаний очень мал (точечный источник), то волны от него радиально расходятся во все стороны, как это показано на рис. 6.17.

Радиальная прямая, проведенная от точечного источника, вдоль кото- рой распространяется волна, назы- вается лучом. Волновая поверхность от точечного источника имеет фор- му сферы. Такая волна называется сферической.

В изотропной среде (т. е. среде, свойства которой не зависят от на- правления), волновой вектор пер- пендикулярен волновой поверхно- сти.

Если источник колебаний — Рис. 6.17

протяженная плоскость, то волно- вая поверхность имеет форму плос- кости. Такая волна называется пло- ской. В плоской волне все лучи, вдоль которых она распространяется, па- раллельны друг другу, например, па- раллельны оси х (рис. 6.18).

В однородной среде колебание вдоль всех параллельных лучей рас- пространяется с одинаковой фазо- вой скоростью u.

Кроме плоских и сферических

волн можно выделить также волны цилиндрические, у которых вол- новые поверхности — концентрические цилиндры. Такие волны воз- буждаются нитевидными или щелевыми источниками.

Среди волн разнообразной физической природы выделяют поми- мо упругих волн и волн на поверхности жидкости, электромагнит- ные и плазменные волны. Особенно большое значение в природе и технике играют электромагнитные волны.