Сравнение двух средних генеральных совокупностей

1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние и . При заданном уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей:

Н_о: М (Х) = М (Y).

Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормиро-ванная нормально распределенная случайная величина

Наблюдаемое значение критерия . Вид критической области зависит от типа конкурирующей гипотезы:

а) Н ₁: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область задается неравенством | Z | > z_кр.

б) Н ₁: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область определяется неравенством Z > z_кр.

в) Н ₁: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, заданная неравен-ством Z < - z_кр, где z_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

2) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид:

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

При этом выбор вида критической области и определение критических точек проводятся так же, как в пункте 1.

3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генеральные дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипотезы Н_о: М (Х) = М (Y) служит случайная величина

,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m – 2 степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

а) Н ₁: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством | T | > t_{двуст.кр.}, где t_{двуст.кр.} (α, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента.

б) Н ₁: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, определяемая условием T > t_{прав.кр.}. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

в) Н ₁: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, T < – t_{прав.кр.}.

Итак, для сравнения генеральных средних, имеем.

Гипотеза	H0: a1 = a2
Предположение	Генеральные совокупности нормальны
s1,s2 известны	s1,s2 не известны: s1 = s2
Оценки по выборке
Статистика К
Распределение статистики К	Стандартное нормальное N (0;1)	Распределение Стьюдента

Пусть по двум независимым выборкам объема n ₁ и n ₂, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей ~ и ~ требуется сравнить генеральные средние, т.е. основная гипотеза имеет вид:

H₀: a₁ = a_{2 .}

Если обе генеральные дисперсии известны, то используется статистика, имеющая стандартное нормальное распределение. Если же дисперсии неизвестны, то применяется статистика, имеющая распределение Стьюдента.

Пример. Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин

Х: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 и Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9.

Требуется проверить для уровня значимости α = 0,1 при условии равенства генеральных дисперсий нулевую гипотезу Н_о: М (Х) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н ₁: М (Х) ≠ М (Y).

Объемы выборок т = 10, п = 15. Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии: Вычислим наблюдаемое значение критерия: Критическая область – двусторонняя, t_{двуст.кр.} (0,1; 23) = 1,71 (см. [2], приложение 6). Итак, | T_набл | < t_{двуст.кр.}, следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу – можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны. ◄

Пример. Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии двух типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий первой группы показало: средняя производительность труда деталей. На 35 предприятиях второй группы средняя производительность оказалась деталей. Генеральные дисперсии известны: . Считая, что выборки произведены из нормально распределенных совокупностей X и Y, на уровне значимости проверить, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются два типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

H₀: a₁ = a₂ или – генеральные средние двух нормально распределенных совокупностей равны (предприятия двух обследованных групп относятся к одному типу предприятий; выборочные средние отличаются незначимо; средняя производительность в двух группах одинакова).

– генеральные средние различны (предприятия двух групп относятся к разному типу предприятий; средняя производительность труда в двух группах различна).

Так как генеральные дисперсии известны, то для проверки гипотезы используем статистику, имеющую нормальное стандартное распределение (табл. 9). Ее наблюдаемое значение равно

.

Альтернативная гипотеза двусторонняя, поэтому критическое значение К_кр находим по таблице значений функции Лапласа из соотношения:

, откуда К_кр = 1,96 и – К_кр = – 1,96. Область допустимых значений основной гипотезы . Наблюдаемое значение лежит за пределами этого интервала и не является допустимым (принадлежит критической области) на заданном уровне значимости. Основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной: полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеется два типа предприятий с различной средней производительностью труда.

Ответ. Имеется два типа предприятий с различной средней производительностью труда.◄