Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление функции от матрицы.⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11
Определение. Пусть даны квадратичная матрица А размерностью и функция скалярного аргумента . Распространим на матричное значение аргумента. Если , то функция от матрицы приобретает вид . Теорема Гамильтона. Пусть - минимальный многочлен. Разложим его на множители (1), где - все различные собственные значения матрицы А. Степень же чисел (2) будем называть значениями функции на спектре матрицы А. Очевидно, чтобы значения функции на спектре матрицы А полностью определяют , т.е. все функции , имеющие одни и те же значения на спектре матрицы А имели одно и то же матричное значение . Т.о. для определения в общем случае достаточно найти многочлен , который принимал бы те же значения на спектре матрицы А, что и , и положить, что . Определение. Если функция определена на спектре матрицы А, то , где - любой многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и , т.е. .Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и , существует единственный многочлен , степень которого меньше m. Этот многочлен однозначно определяется интерполирующими условиями: (3) – интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Определение. Пусть функция , определена на спектре матрицы А, а - соответствующий интерполяционный многочлен. Тогда . Замечание. Получили, что если матрицы А не имеет кратных корней (матрица простой структуры) и в равенстве (1) , то для того, чтобы имело смысл достаточно, чтобы была определена в точках , если же все имеют кратные корни, то в некоторых точках соотношения (2) должны быть определены и производные до известного порядка. Свойства функций от матриц: 1) Если - собственные числа матрицы А n-ого порядка, то - собственные числа матрицы . 2) Если матрицы А и В подобны, т.е. , то матрицы и также подобны, причем . 3) Пусть А – квазидиагональная матрица , тогда .
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Пусть - минимальный многочлен матрицы А, . - степень . Представим является правильной дробью в виде суммы дробей: (6), где - некоторые числа. Для определения числителя простой дроби умножим обе части (6) на (7), где - рациональная функция, не обращающаяся в бесконечность при . Обозначим через . (8) Формулы (8) показывают, что числители в правой части (6) выражаются через значения многочлена на спектре матрицы А, а эти значения нам известны. А именно, они равны соответственным значения функции и ее производной: (9’). После того, как все найдены, мы определим по следующей формуле, которая получается умножением обеих частей равенства (6) на : (10). Заметим, что в соотношении (10) выражение в квадратных скобках в силу (9’) равно сумме первых членов разложения Тейлора по степеням для . Основная формула. Вернемся к (10). Подставив в нее (9’) для коэффициентов и объединив члены, содержащие одно и тоже значение и какой-либо ее производной, представим в виде (11), где - полином степени меньшей степени . Эти полиномы определяются заданием и не зависит от выбора функции . Число этих полиномов равно числу значений на спектре матрицы А и равно m, где m – степень минимального многочлена. Из формулы (10) следует основная формула для нахождения функции от матрицы, а именно: (12), матрицы являются компонентами матрицы А. Они вполне определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции . В правой части формулы (12), функция представлена только своими значениями на спектре матрицы А.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 334; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.31.134 (0.007 с.) |