Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпространства на прямую сумму циклических подпространств.
Определение. Векторы из пространства X называются относительно линейно независимыми над подпространством R1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля не принадлежит R1 Определение. Базисом пространства R относительно пространства R1 называется такая система e1, …,ek линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R1 образует базис во всем пространстве Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства. Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства. Итак, пусть преобразование A в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю. Рассмотрим цепочку подпространств: 0 Ì N0(1) Ì … Ì N0(p) = N0(p+1) = …, где подпространство N0(k) есть ядро преобразования Ak. Так как преобразование A в пространстве R не имеет отличных от нуля собственных значений, то, очевидно, N(p) совпадает при этом со всем пространством R. Выберем в максимальном из этих подпространств N0(p) базис относительно содержащегося в нем подпространства N0(p-1). Пусть векторы этого базиса будут: e1,…, eq Очевидно, что это будут присоединенные векторы (p-1) – го порядка. т.к AN0(p) Ì N0(p-1), то векторы Ae1,…,Aeq лежат в N0(p-1). Покажем, что эти векторы линейно независимы в N0(p-1) относительно лежащего в нем подпространства N0(p-2). Действительно, пусть не все aI = 0 и a1Ae1+…+aqAeq = A(a1e1+…+aqeq) Î N0(p-2) Тогда вектор x = a1e1+…+aqeq Î N0(p-1), а это противоречит предположению, что векторы e1,…,eq линейно независимы над N0(p-1). Дополним векторы Ae1,…,Aeq до базиса в N0(p-1) относительно N0(p-2). Мы получим тогда q+s векторов Ae1,…,Aeq,f1,…,fs, которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка p-2
Снова применим к этим векторам преобразование A и полученную систему векторов из N0(p-2) дополним, как и выше, до базиса в N0(p-2) относительно N0(p-3). Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства N0(1) и выберем базис в этом подпространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов. Расположим полученные векторы в следующую таблицу: e1 … eq Ae1 … Aeq f1 … fs A2e1 … A2eq Af1 … Afs …………………………. …………………………. Ap-1e1 … Ap-1eq Ap-2f1 … Ap-2fs … h1 … hr (1) Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве N0(1) Векторы двух нижнех строчек образуют базис в N0(2), т.к. это и есть базис N0(2) относительно N0(1) в соединении с базисом N0(1). Векторы трех нижних строчек образуют базис в N0(3) и т.д. Наконец все векторы таблицы образуют базис в N0(p), т.е. во всем пространстве R. Покажем теперь, что в этом базисе матрица преобразования A имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы (1), например, для определенности первый. Обозначим для удобства Ap-1e1 через , Ap-2e1 – через и т.д. и рассмотрим действие преобразования A на каждый из этих векторов. Так как - собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, то A = 0 Дальше, по определению, A = A Ap-2e1 = Ap-1e1 = и аналогично A = … A = Таким образом, преобразование A переводит векторы первого столбца снова в себя, т.е. подпространство R1, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно A. Матрица преобразования A в подпространстве R1 в базисе ,…, имеет вид (2) т.е это есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению λ=0.
Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы (1), и размерность каждого такого подпространства равна числу векторов в соответствующем столбце. Так как матрица преобразования A в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (1), имеет вид (2), то матрица преобразования во всем пространстве R в базисе, состоящем из всех векторов таблицы (1), состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца.
Если вместо преобразования A рассмотреть преобразование A+λI, то, так как матрица преобразования λI диагональная, мы получим тот же результат для преобразования пространства R, имеющего только одно собственное значение равное произвольному числу λ1. Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования A+λ1I будут иметь вид: Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования A мы можем разложить пространство R в сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование A имеет только одно собственное значение.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 371; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.98.186 (0.009 с.) |