Поняття гетероскедастичності та її наслідки

Розглянемо економетрична модель множинної лінійної регресії:

Оцінку параметрів моделі можна знаходити методом найменших квадратів, якщо випадкова складова мала нормальний закон розподілу і сталу дисперсію. Зокрема, сталість дисперсії означала, що , для довільних спостережень і, j.

Якщо дисперсія залишків стала (постійна) для кожного спостереження, то ця властивість дисперсії називається гомоскедастичністю.

Гомоскедастичність означає, що ймовірність того, що випадкова величина набуває визначене значення буде однаковою для всіх спостережень.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень це явище називається гетероскедастичність. (графіки)

Наслідки: висновки відносно оцінок параметрів моделі, інтервалі довіри, а також відносно перевірки статистичних гіпотез можуть бути хибними (невірними). Це пов’язано з тим, що оцінка дисперсії помилок при наявності гетероскедастичності не може бути обчислена за формулою:

Для перевірки встановлення наявності гетероскедастичності є різні методи, які залежать від об’єму вибірки. До основних з них можна віднести:

s -тест – для великого об’єму вибірки;

s ест Парка;

s Тест Глейсера;

s Тест Голтфельда-Квандта.

Ідея всіх тестів полягає в тому, що в апріорі вважають, що дисперсія залишків має певну залежність. Вид цієї залежності встановлюється з різних припущень.

 

Тест Голдфельда-Квандта

Розглянемо тест Голдфельда-Квандта. Припустимо, що дисперсія залишків моделі змінюється пропорційно до квадрату однієї змінної моделі, тобто:

, де

Ідея тесту: вся вибірка впорядковується в порядку зростання змінної , потім впорядковану вибірку за певним критерієм розбивають на три частини і з розгляду виключають середню частину вибірки. Для кожної із частин, які залишились знаходять оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів. У отриманих двох вибіркових моделях обчислюють суми квадратів залишків і за допомогою F-критерію встановлюють відсутність чи наявність гетероскедастичності.

Алгоритм тесту:

1. Вибірку впорядковують по зростанню фактора (всі елементи вибірки):

2. Розбивають вибірку на три частини. Значення c вибирають таким чином, щоб .

3. З вибірки викидають середні значення.

4. Для першої і третьої частин вибірки знаходять методом найменших квадратів оцінки параметрів моделі. В результаті отримують дві вибіркові регресійні прямі:

5. Знаходять суми квадратів залишків для кожної із моделей:

6. Задають F-критерій:

Вважають, що він має розподіл Фішера з ступенями вільності.

7. Формулюють статистичні гіпотези:

присутня гомоскедастичність

присутня гетероскедастичність

8. Знаходять фактичне значення критерію .

9. За таблицями розподілу Фішера знаходять критичне значення для ступенів вільності і заданого рівня значимості .

10. Якщо , приймається нульова гіпотеза і вважається, що присутня гомоскедастичність. Якщо , приймається альтернативна гіпотеза і вважається, що присутня гетероскедастичність.

 

13. Знаходження оцінок параметрів моделі за допомогою узагальненого методу найменших квадратів (метод Ейткена)

При наявності гетероскедастичності оцінки параметрів моделі, які отримані методом найменших квадратів є неефективними, тобто вони не будуть мати найменшу дисперсію, порівняно з оцінками параметрів моделі отриманих іншими методами.

Для знаходження ефективних оцінок параметрів потрібно використати інші методи. Одним з таких методів є узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Суть методу: вихідну економетрична модель в якій присутня гетероскедастичність за допомогою певного перетворення приводять до моделі, в якій присутня гомоскедастичність. Перетворення вихідної моделі в гомоскедастичну відбувається шляхом коригування (перетворення) вихідної інформації стосовно змінних моделі. Для цього використовується вигляд залежності дисперсії залишків від тієї чи іншої змінної моделі. Враховуючи вигляд цієї залежності за певними правилами будують (формують) квадратну матрицю S, розмір якої співпадає з об’ємом (розмірністю) вибірки.

Формула для оцінки параметрів моделі тоді матиме вигляд:

Якщо, наприклад, вважати, що дисперсія залишків пропорційна до зміни незалежної змінної , тоді матриця S матиме вигляд: