Тема: повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.

1. Повні простори. Ознака Коші.

1.1. Довести що збіжна послідовність є послідовністю Коші.

1.2. Послідовність Коші у метричному просторі обмежена.

1.3. Довести повноту за означенням.

1.4. Довести ознаку Коші для границі функції.

1.5. За ознакою Коші довести, що послідовність збіжна:

1. 2. .

2. Теорема про нерухому точку.

2.1. Довести, що стискаюче відображення - рівномірно неперервне.

2.2. Довести, що рівняння на відрізку має тільки один корінь.

2.3. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості послідовним наближенням.

2.4. Нехай , за теоремою про нерухому точку, довести що існує і знайти його.

Завдання для самостійної роботи

1. Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.

2. Розглянемо метричний простір . Довести, за означенням, що Е не є повним.

3. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

4. За ознакою Коші довести збіжність послідовності .

5. Нехай А і В – повні підпростори метричного простору Х. Довести, що - повні.

6. Нехай Х і Y повні метричні простори з метриками і відповідно. Довести, що з метрикою теж повний простір.

7. Довести, що рівняння на відрізку має тільки один корінь.

8. Нехай . Довести за допомогою теореми про нерухому точку, що існує і знайти його.

9. Знайти границю послідовності (скористатися задачею 9).

10. Довести, що відображення сжимаюче та знайти точку нерухомості, розв’язуючи відповідну систему рівнянь.

 

Лекція №18.

Початкові відомості про ряди.

Числові ряди.

Нехай дана числова послідовність .

Означення. Символ називається рядом.

Позначимо n - частинну суму.

Означення. Границя послідовності частинних сум називається сумою ряду.

Приклад. 1. .

2. 1-1+1-1+..., - не існує.

Критерій Коші. Ряд збіжний тоді і тільки тоді, коли

Доведення випливає з ознаки Коші для послідовності.

Наслідок 1. Якщо ряд збіжний, то .

Наслідок 2. Збіжність ряду не залежить від кінцевого числа доданків.

Приклад. Гармонічний ряд розбігається.

Дійсно отже для і критерій Коші не виконується, тобто ряд розбіжний.

Додатні ряди.

Означення. Ряд називається додатнім, якщо .

 

Теорема. Для того, щоб додатній ряд був збіжним необхідно і достатньо, щоб послідовність частинних сум була обмежена зверху.

Доведення теореми випливає з теореми про границю монотонної послідовності та того, що - зростаюча.

Теорема порівняння. Нехай , додатні ряди. Якщо , то із збіжності ряду слідує збіжність ряду а із розбіжності ряду слідує розбіжність ряду .

Доведення. Позначимо , а . За умовою теореми , . Якщо ряд збігається, то за попередньою теоремою - обмежена зверху, тоді і послідовність - обмежена зверху (за нерівністю) отже, ряд - збігається.

Нехай ряд - розбігається, тоді не обмежена зверху, тоді теж не обмежена зверху і ряд розбіжний.

Ознака Д’аламбера. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , то ряд розбіжний.

Доведення. За умовою . Ряд - збіжний () отже і - збіжний.

Якщо , то послідовність зростаюча і , то , отже ряд - розбігається.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.

Довести самостійно.

Ознака Коші. Нехай - додатний ряд і , то ряд збіжний, а якщо , то ряд розбіжний.

Доведення аналогічне доведенню ознаки Д’аламбера.

Наслідок. Нехай - додатний ряд і існує .

Якщо q< 1 - ряд збіжний;

q>1 – ряд розбіжний.

Знакозмінні ряди.

Означення. Ряд виду - знакозмінний ряд.

Ознака Лейбніца. Для того, щоб знакозмінний ряд був збіжним достатньо щоб: 1. ;

2. .

Доведення. , оскільки , то , отже - зростаюча послідовність. Крім того, - обмежена зверху.

Таким чином за теоремою про монотонну послідовність має границю, яку позначимо . Оскільки , то має границю , оскільки послідовності відповідно збігаються до і 0. Отже послідовність має границю (оскільки дві її підпослідовності з парними та непарними номерами збігаються до однієї границі).

Наприклад. Ряд – збіжний.

Абсолютно збіжні ряди.

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд .

Теорема. Якщо ряд збіжний абсолютно, то він збіжний в звичайному смислі.

Доведення. Доведення випливає з ознаки Коші, оскільки виконується , та ознака Коші для ряду .

Означення. Якщо ряд збіжний, але не збіжний абсолютно, то він називається умовно збіжним.

Наприклад. – умовно збіжний.

Самостійно розглянути переставну властивість збіжних рядів і добуток за Коші абсолютно збіжних рядів.

Практичне заняття № 17