Тема: 1а, 2а чудові границі.

Основні відомості: Види 1-ї та 2-ї чудових границь.

Задачі:

Обчислити, використовуючи першу чудову границю:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

Обчислити, використовуючи другу чудову границю:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

Обчислити за допомогою полярних та сферичних координат

3.1.

3.2.

3.3.

Завдання для самостійної роботи.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26. 27. 28.

Практичне заняття №13

Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація.

Основні відомості: 1.Визначення неперервності функції в точці.

2.Властивості неперервної функції в точці.

3.Розриви.

4. Класифікація розривів.

Задачі

1.1.Довести неперервність в кожній точці за означенням: .

1.2.Функція (х) неперервна в точці х₀ та в будь-якому околі цієї точки є як значення х, в яких функція додатня, так і значення x, в яких функція від'ємна. Знайти (х₀).

1.3.Довести, що якщо (х) - неперервна функція, то F(х) = є також неперервна

функція.

Дослідити на неперервність та зобразити графічно і з'ясувати характер розриву.

2.1.

2.2.

2.3. Довести, що функція та розривна в інших точках.

2.4.

2.5.

Завдання для самостійної роботи.

Довести неперервність в кожній точці за означенням.

1. y=2x-1

2. y=

3.

4. y=x³

5. y=cosx

6. Нехай неперервна в точці x_о та (х₀) 0. Довести, що існує число c>0 і окіл точки х₀ такі, що для будь-якого x з цього околу справедлива нерівність . Визначити точки розриву функцій та дослідити характер цих точок.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Чи існує при якому функція неперервна.

14.

15.

16.

Чи існують та при яких неперервна

17.

18.

19.

20. Функція неперервна в точці х₀, а функція g розривна в точці х₀. Довести, що функція +g розривна в цій точці.

21.Довести, що якщо у = (х) - неперервна функція, то у = (х) неперервна.

22.Нехай (х) неперервна функція. Чи завжди існують неперервні g(х) та h(х) такі, що
для всіх х (х) = g(х)sin х + h(х) соs х.

23.Нехай (х) - неперервна на проміжку X. Довести, що функції

неперервні на Х.

24.Чи можливо стверджувати, що квадрат розривної функції є також розривна функція.
Побудувати приклад.

25.Довести, що якщо функція монотонна, то будь-яка її точка розриву є точка розриву
першого роду.

26.

27. 28.

Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах.

Лекція № 13

Компактні простори. Компактні множини в R¹ і Rⁿ

Означення компактних просторів. Приклади.

Нехай Е - топологічний простір.

Означення. Множина підмножин Е називається покриттям Е, якщо будь-яка точка x з Е належить хоча б одній з цих підмножин.

Покриття скінчене - якщо воно складається з скінченого числа множин.

Покриття відкрите - якщо воно складається з відкритих множин.

Наприклад відкрите покриття R¹

Означення. Підпокриттям називається покриття, утворене з множин першого покриття.

Означення (властивість Гейне-Бореля-Лебега). Топологічний простір називається компактним, якщо з будь-якого його відкритого покриття можна виділити хоча б одне скінчене підпокриття.

Зауваження. Компактність - властивість простору Е.

Можливо розглядати компактність з індукованою в топологією при цьому Е може бути не компактним простором.

Приклади.

1. Простір, що містить скінчене число точок - компактний.

2. R¹, R², векторні нормовані простори - не компактні, так як множина відкритих куль з центром в точці 0 і радіусом більше нуля утворює відкрите покриття. Будь-яке скінчене число цих куль міститься в одній кулі скінченого радіуса і, отже, не покриває всього простору.

В загальному вигляді, будь-яка необмежена підмножина метричного простору не компактна.

Необхідна умова компактності метричного простору - обмеженість.

Теорема. Будь-який відрізок - компактна множина.

Доведення. Нехай відкрите покриття і с - середина .

Припустимо, що з неможливо вибрати скінченого числа підмножин покриваючих повністю, тоді, це неможливо зробити принаймні для одного [ , с] або [с,b], наприклад, [ ,с]=[ ]. Розділивши його на два, ми одержали [ ], що має ті ж властивості. Таким чином, отримали послідовність [ ],...,[ ],... під інтервалів : жоден з них не може бути покритий скінченою кількістю множин з .

- зростає і обмежена зверху, тоді .

- спадає і обмежена знизу, тоді .

Так як при , то Тоді будь-який відкритий інтервал, що містить , містить всі i , а значить, містить і всі [ ] з цими номерами. В існує відкрита множина і для достатньо великих n . Прийшли до суперечності з тим, що [ ] не покритий скінченим числом множин з , що і доводить теорему.

Теорема. В Rⁿ замкнений обмежений паралелепіпед, тобто множина є компактним простором.

Довести аналогічно доведенню попередньої теореми.