Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

а). Это наиболее сложное вращение твёрдого тела.

Существует приём описания такого движения: в каждый момент времени вращения Т.Т. вокруг неподвижной точки рассматривают, как вращение вокруг неподвижной мгновенной оси вращения; отсюда для каждой заданной радиус-вектором точки Т.Т. можно определить ск-ть, используя старые формулы, т.е. , где - мгновенная угловая скорость

Задача: определить ск-ти М.Т. Т.Т., определив угловую ск-ть и зная координаты М.Т.

Точка О – это полюс, относительно которого мы определяем положение произвольной м. точки.

Полюс вводится для определения начала скользящего вектора.

За dt т. М повернётся на или на перемещение .

 

 

т.е. надо знать проекцию угловой ск-ти на оси выбранной СО.

б). Задача: найдём эти проекции.

 

Т. О=О´, вокруг неё и происходит вращение твёрдого тела, которое мы заменяем вращением подвижной СО.

Пусть - мгновенная ось вращения, этот вектор проходит через т.О.

Разложим вектор по трём неколлинеарным и некомпланарным направлениям:

, выбор направлений из соображения удобства.

Найдём ω_x= ω_1x+ ω_2x+ ω_3x.

Найдём проекцию ω_x, в конечном итоге выразим через кинематическое уравнение движения, которое в данном случае представлено уравнениями ψ=ψ(t), φ=φ(t), Θ=Θ(t).

Т.к. случай вращения твёрдого тела вокруг мгновенной оси – это случай движения твёрдого тела с тремя степенями свобод (см. ранее).

в)Проецируем на оси:

 

а) ω_1x=0 (угол прямой);

б) ω_2x=

в) ω_3x=

ω_x= +

Получили проекцию ω_x, выраженную через функции кинематических уравнений. Аналогично получаем для других проекций.

В зависимости от СО получим разные ω_x, но они все выражены через кинематические уравнения движения тела.

Вывод: зная ω_x, как функцию ω_x=f(ψ,φ,Θ) и другие проекции можно получить выражение для V_x, как V_x=f(x,y,z,ψ,φ,Θ) – так решается кинематическая задача описания вращения твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

Момент инерции.

1). В общем случае при изучении движения важное значение имеет распределение массы, а не просто масса твёрдого тела.

Только при поступательном движении достаточной характеристикой является масса твёрдого тела в целом.

Инертнее свойства твёрдого тела связанные с распределением массы твёрдого тела описываются новой физической величиной (новой характеристикой) – моментом инерции.

Она определяется относительно оси, которую мы выбираем.

Момент инерции определяется так:

 

2). Вводят моменты инерции относительно осей декартовой СО.

У этих моментов инерции есть св-ва:

г) А´+B´–C´ 0.

H – момент инерции относительно полюса центра СО (Н=const).

3). Теорема Штейнера.

а). Теорема связывает момент инерции относительно произвольной оси с моментом инерции оси при параллельном переносе оси, проходящей через центр масс.

, где d – расстояние между осями.

Оси S и C – параллельны. б).По определению момента инерции относительно оси S

. Раз оси разные, то момент инерции относительно осей разные.

 

 

Задача: сравнить моменты инерции относительно наших 2х осей:

По теореме косинусов имеем:

И определим момент инерции

в). Используя определение и выражение для ( - координата dm, т.е. х )получим:

момент инерции относительно оси ч/з центр масс всегда наименьше.

32. Зависимость момента инерции от направления оси.

1). Момент импульса твёрдого тела сильно зависит от направления оси, т.е. .

Покажем это.

Положение S задаётся положением единичного вектора или cos(α), cos(β), cos(γ). – местоположение момента dm.

 

2). Построим момент инерции. Выразим ρ, что самое трудное.

Заметим, что α, β, γ – определяют положение оси и для данного случая постоянны.

3). Выполним возведение в степень, систематизацию выражений. Подставим выражение в определение момента инерции, ведём обозначения моментов инерции относительно осей СО и центробежных моментов инерции.

– имеют смысл моментов инерции, поэтому получили название центробежных моментов инерции.

Вывод: из формулы очевидно, что I_s момент инерции относительно выбранной оси зависит от α, β и γ, причём зависимость эта достаточно сложная. α, β и γ-const.

4). Итак получили ур-е, к-е определяет изменение момента инерции Т.Т. в зависимости от положения α, β и γ оси вращения. Это ур-е сложное. Коэффициентами явл. моменты инерции относительно осей СО и центробежные моменты инерции, т.е. мы решили задачу определения

При изменении СО меняются коэффициенты по определённым правилам. Они задаются линейными однозначными ур-ми. Напомним, что характеризуют инертные св-ва тела, все вместе.

Объекты, к-е характеризуют св-ва тела и так изменяются при изменении СО получили название тензоров. Они задаются матрицей

можно создать образ тензора инерции, построив эллипсоид инерции (поверхности), заданный ур-ем:

. с учётом, что x = к·α; y=r·β; z=r·γ:

Получим уравнение эллипсоида (геометрия), но для нас это эллипсоид инерции – геометрическая интерпретация.

Преобразованием (поворотом) осей СО можно получить форму уравнения эллипсоида:

; А, B, C – относительно нового положения осей.

А, В, С называют главным моментом инерции; в этом случае оси СО совпадают с осями симметрии эллипсоида.

В этом случае момент инерции вычисляется проще всего. Вывод: момент инерции более сложная характеристика инертных св-в, чем масса.

33.Принцип виртуальных перемещений.

1. В аналитической механике рассматривается самый общий случай движения механической системы при наличии связи обычно это система материальных точек.

Если эта система n точек с m связями, то S=3n–m – число степеней, то есть число независимых параметров, описывающих движение такой системы S.

Пусть система из n точек находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на каждую точку равны нулю. Но это значит и следующее:

;

Если учесть, что силы могут быть заданные и связи, то получаем:

– уравнение для всей системы точек. Если связи идеальные, то:

 

– определение идеальных связей.

В координатном представлении получаем:

 

– принцип аналитической статики – принцип виртуальных перемещений.

2. В 1770 г. Бернулли, Лагранж и Гамильтон.

анализ. Если связей нет, то – независимые параметры.

В этом случае условия равновесия:

В случае наличия связей, то есть для несвободной системы вариации не являются независимыми величинами. В этом случае так получить уравнение равновесия нельзя. Необходимо перейти к независимым параметрам, то есть обобщить принцип виртуальных перемещений.

3. Рассмотрим для этого метод обобщённых координат. Суть его состоит в том, что от зависимых параметров (где i = 1.. n), переходим к (где j = 1.. S), то есть

Между зависимыми и независимыми характеристиками системы осуществляется связь:

 

Подставим в уравнение принципа виртуальных перемещений:

 

Обобщённый принцип виртуальных перемещений будет выглядеть так: