Глава 5. Элементы математического анализа

Множества. Операции над множествами.

Понятие множества относится к первичным, т.е. неопределяемым понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «набор» и т.п. – синонимы слова «множество». Примерами множества могут служить множество студентов, присутствующих в данной аудитории, или множество студентов, прогуливающих данную лекцию. Последнее множество, к сожалению, не пустое множество. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается . Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами  а элементы множества – строчными латинскими буквами. Тот факт, что  является элементом множества , обозначается следующим образом . И читается «  принадлежит множеству . Тот факт, что  не является элементом множества , обозначается следующим образом

Операции над множествами.

Множества  и  называются равными, если

и наоборот

Если  и  - пустые множества, то мы полагаем что они равны.

Равенство множество обозначается следующим образом .

Множество  называется подмножеством множества , если . Обозначение .

Если  является подмножеством множества  и при этом существует элемент множества , не принадлежащий множеству , тогда  называется собственным подмножеством множества . Обозначение .

Тот факт, что  можно обозначить так .

Примеры: множество натуральных чисел

Из определения 1 и 2 следует, что множества  и  равны тогда и только тогда, когда  и .

При этом считается, что  является подмножеством любого множества.

Множество элементов  из некоторого множества , обладающих некоторым свойством  будем обозначать следующим образом .

Пример. Множество всех положительных чисел  можно записать следующим образом

Множество  называется объединением множеств  и , если любой элемент множества  содержится хотя бы в одном из множеств  и , т.е.

Множество  называется пересечением множеств  и , если каждый элемент множества  содержится как в , так и в .

Очевидно, что если , то .

Разностью множеств  и  называется такое множество , что каждый элемент множества  содержится в , но не содержится в . Обозначение .

Пусть  – произвольное множество,  - любое подмножество множества . .

Дополнением множества  до множества  называется множество . Обозначение  или .

Рассмотрим два множества  и , элементами которых могут быть любые объекты, и предположим, что каждому элементу  множества  некоторым способом поставлен в соответствие элемент  множества ., который мы обозначим через . Тогда  называется отображением множества  в .

Отображение  множества  в  называется взаимно однозначным, если

1.

2.

Если существует взаимно однозначное отображение множества  в , то будем говорить, что между множествами  и  может быть установлено взаимно однозначное соответствие, или, что  и  эквивалентны.

Тот факт, что множества  и  эквиваленты, обозначается следующим образом .