Системы с верхней трапециевидной матрицей.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений  с верхней трапециевидной матрицей

Возможны следующие четыре случая.

Случай 1. Пусть матрица  имеет вид

В случае 1 система (1) имеет вид

При этом расширенная матрица системы (2) имеет вид

                                                        .

Легко заметить, что .

Найти решение системы (2) не представляет труда: решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное.

Заметим, что в случае 1 система (2), а стало быть и система (1) имеет единственное решение.

Случай 2. Пусть матрица  имеет вид

В случае 2 система (1) имеет вид

А расширенная матрица - вид

                  .

Как и в случае (1), .

Назовём неизвестные  – главными неизвестными, а  – свободными.

Перенося в уравнениях системы (3) все слагаемые, содержащие свободные неизвестные в правую часть, получим

Решая последовательно уравнения системы (4) снизу вверх, мы получим выражения главных неизвестных  через свободные - . Указанные выражения неизвестных  через неизвестные  называется общим решением системы (1).

Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения , вычислим соответствующие значения главных неизвестных. Пусть эти значения .

Очевидно, что упорядоченный набор  является решением системы (3). Это решение называется частным решением.

Так как свободным неизвестным можно придать бесконечное множество значений, то и система (3) имеет бесконечное множество решений.

Следовательно, система (1), в случае  имеет бесконечное множество решений.

Случай 3. Пусть матрица  имеет вид

Тогда система (1) имеет следующий вид

Докажем, что система (5) совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть система (5) совместна. Тогда существуют такие значения неизвестных , при которых все уравнения системы превращаются в тождества. Следовательно . Пусть теперь выполнены равенства . Тогда система (5) имеет вид

 

Система (6) называется укороченной системой. Очевидно, что, при выполнении равенств

 системы (5) и (6) эквивалентны.

Основная матрица системы (6) имеет вид, рассмотренный в случае 2. Следовательно, система (6) имеет бесконечное множество решений, а стало быть, совместна.

Заметим, что в случае 3, при выполнении равенств , расширенная матрица  

системы (5) является верхней трапециевидной матрицей, при этом

 

Таким образом, в случае , если среди коэффициентов  хотя бы один не равен нулю, то система (5) несовместна. Если же все , то система (5) имеет бесконечное множество решений.

Случай 4. Пусть верхняя трапециевидная матрица  имеет вид

Тогда система (1) имеет вид

Из чего следует, что система (7) совместна тогда и только тогда, когда все . При этом, если все , то система (7) эквивалентна укороченной системе (2), описанной в случае 1, которая имеет единственное решение.

Заметим, что в случаях 3 и 4, равенство  выполняется тогда и только тогда, когда . Следовательно, как и в случаях 1 и 2, система (1) совместна тогда и только тогда, когда

Из проведённых выше рассуждений следует, что система линейных алгебраических уравнений с верхней трапециевидной матрицей совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы При этом система либо имеет единственное решение (, либо имеет бесконечное множество решений (, либо не имеет ни одного решения (

Системы общего вида

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему

                                                                           , (1)

где , , .

Теорема 5.1.(Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть - расширенная матрица системы (1). В силу теоремы 3.1 главы 1, матрицу  путем элементарных преобразований строк и перестановками столбцов можно привести к матрице - верхней трапециевидной формы. Применяя эти преобразования к расширенной матрице , получим систему

                                                                                    (2)

эквивалентную системе (1). В силу теоремы 6.3 гл.1

                                                                                 . (3)

Заметим, что матрица неизвестных  может отличаться от матрицы только нумерацией неизвестных.

Система (2) является системой с верхней трапециевидной матрицей. В силу результатов §4 главы 2, система (2) совместна тогда и только тогда, когда

                                                                             . (4)

Заметим, что при выполнении равенства (4), матрица является матрицей верхней трапециевидной формы, полученной из матрицы  путем элементарных преобразований. В силу теоремы 6.3 гл.1

                                                                                  . (5)

Из равенств (3), (4)и (5) следует, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда .

Метод Гаусса исследования и решения системы. Метод Гаусса исследования и решения системы уравнений состоит в приведении её к системе с верхней трапециевидной матрицей, и последующим исследованием и решением получившейся системы.

 

Согласно теореме 3.1 §3 главы 1, основная матрица  системы  элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме. Если используемые при этом элементарные преобразования применить к расширенной матрице , то мы придём к системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой могут отличаться от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. Данное отличие возникает, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы . Поэтому после решения приведённой системы с верхней трапециевидной матрицей, необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.

Из проведённых выше рассуждений следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 5.2. (О структуре множества решений) Любая система линейных алгебраических уравнений c основной матрицей , расширенной матрицей  и числом неизвестных  либо совместна и имеет единственное решение (, либо совместна и имеет бесконечное множество решений (, либо не имеет ни одного решения (.

Пример 1. Исследовать и решить систему

Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме

Система с последней расширенной матрицей несовместна.

Пример 2. Исследовать и решить систему

Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме.

Пример. Исследовать и решить систему

Построить её общее решение, указать какое-нибудь частное решение.

Элементарными преобразованиями приведём расширенную матрицу системы к верхней трапециевидной форме

Как видим, свободными неизвестными будут  и . Выразим через них главные неизвестные, решая уравнения системы

последовательно снизу вверх.

Итак, общее решение системы имеет вид .

Частное решение системы получится, если в её общем решении задать значения свободных неизвестных, например, положить их равными . Тогда . Следовательно  - частное решение.