Выполним подстановку в исходный предел

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

6 y=logaX                                                                                                                              Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

 

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного (с выводом одного из них).

 

Сумма и разность:

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке:

(u+v)' = u' + v'.

Доказательство:

 

 

Произведение:

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке:

(uv)' = u'v+uv'.

Частное:

Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x0:

 

Сложная функция. Теорема о производной сложной функции (с доказательством).

Пусть дана сложная функция , где  – внешняя функция,

 – внутренняя функция, область определения которой содержится в области определения внешней функции.

Теорема:

Пусть внутренняя функция  имеет производную в т. х, пусть внешняя функция  имеет производную в т. , соответствующую значению , тогда производная сложной функции находится по формуле

    или    

 

▼ По условию теоремы

 _{по определению производной} =  → _{по теореме о связи функции и ее предела} →

, где  – бесконечно малая при ,

т.е.

 +

Рассмотрим  :

 _{по св-ву предела = по условию ⱻ}   

По условию теоремы  имеет производную в т. х, следовательно функция  непрерывна в т. х → _{по второму определению непрерывности функции в точке} → , т.е. при , получим

 ▼

Понятие обратной функции. Теорема о дифференцировании взаимно обратных функций (доказательство).

Определение

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

 

Функция является обратной, если её область значений, есть область определения прямой функции, а область определения, есть область значений прямой функции. {\displaystyle f:X\to Y}

Теорема.

 Пусть функция является обратной для функции . Если существует отличная от нуля производная функции по переменной x, то существует и производная обратной функции по переменной y. При этом

Доказательство.

· По Фриштер и рисунку: альфа + бетта = pi/2 => бетта = pi/2 – альфа => tg бетта = tg (pi/2 - альфа) = ctg альфа => tg бетта = 1/ tg альфа =>

=> По определению производной

· Из интернетов проклятых:

По определению производной

 

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях, является непрерывной функцией и, следовательно, при ∆ x → 0. Тогда

что влечет за собой доказываемое утверждение.

16: Параметрическое задание функции. Доказательство теоремы о производной функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно.

Определение: переменная у называется параметрической переменной х, если закон соответствия между переменными задан системой.

Теорема: пусть функция задана параметрически:

t ,

Пусть  производные функции x(t), y(t),

 при этом x’(t)

Тогда производная функции y’(x)=

Доказательство: рассмотрим  =

По условию теоремы  x’(t), то функция x=x(t) непрерывна, значит, по второму определению непрерывности: =0, т.е.

при

Тогда:  =  =(по свойству пределов)  = = , Ч.Т.Д.

Производная высших порядков для функции, заданной параметрически:

 ,  t  , значит  – функция

Производная от функции, заданной параметрически, является параметрически заданной функцией.

                            

 

 , тогда =

Производная функции, заданной неявно:

Функция у называется неявно заданной, если она задана уравнением f(х,у)=0, в котором нельзя выразить ни х, ни у.

Порядок дифференцирования неявно заданной функции:

1) Дифференцируем от соотношения F(x,y)=0, считая у функцией от х

-(x )’=1* +x*2y*y’(x)

()’= *y’(x)

()’=  *(2x+ *y’(x))

2) В полученном равенстве находим y’=f(x,y)

3) Чтобы найти f’(), надо подставить координаты точки в выражение производной

17 Связь между существованием производной в точке и непрерывностью функции y=f(x) в этой точке

(с доказательством и примером непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.)

Если функция имеет производную в точке , то она в этой точке непрерывна
По условию теоремы  тогда по определению производной

 

Но стоит отметить, что обратное утверждение не верно

Пример:

А) непрерывность

Задаем в точке  => приращение , тогда  получит приращение

Б) Произв.

1б)      

 

2б)  

         

1

Вывод:  непр. в т.  не имеет производной в т.

y=-x y      y=x

                              

       d=     

                    x    -1

 

 

Не существует касательной к графику ф-и