Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формулы для вычисления фигур.Стр 1 из 4Следующая ⇒
Формулы для вычисления фигур. Логарифмы. Вероятности. Степени. Тригонометрия. Системы нелинейных уравнений. Интеграл. Многогранники. Тела вращения. Показательные неравенства. Применение производной к исследованию функции. Логарифмические уравнения.
1. Формулы для вычисления фигур.
1. Sправильного 2. Sпрямоугольного 3. Sтрапеции 4. Sромба 5. Sпрямоугольника 6. Sквадрата 7. Sпроизвольного 8. Sкруга 9. Cокружности (длина окр.) 10.Sпараллелограмм 11.Формула Герона
2. Логарифмы.
Функция вида у = , где а , называется логарифмической. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
1.
2.
3.
4. b=3 найти b b = (
5. найти b b -
6. b = (
7. найти a 9=
8. найти a
9. Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10 (принято обозначать lg). 10. Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, именно иррациональное число с 2,71828183.
Имеем натуральный логарифм log x.
Свойства: 1. D(, логарифмы только положительных чисел существуют. 2. E( 3. Непрерывна. 4. Если a , то функция возрастает. 5. Если 0 a , то функция убывает. 6. Функция обратная показательной. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Примеры: (7) (8) (9) (13) (14) Вычислить:
3. Вероятности. Вероятность. Вероятность события. , где m- число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, n – число всех равновозможных исходов опыта, Пример 1. Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправных, а 20 бракованных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется исправной. Решение: Очевидно, что из числа всех деталей, т.е. из числа 80, нам благоприятствует 60 и не благоприятствует 20. Если через А мы обозначим событие, что взятая деталь исправна, то согласно определению, вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих элементарных исходов к числу всех равновозможных. Поэтому
1. Из 100 лотерейных билетов 45 являются выигрышными. Какова вероятность выигрыша? 1 000- количество лотерейных билетов; 45 - выигрышные билеты; Ответ: 45.
Метод перебора. 2. Подбрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что ровно одна из монет упадет решкой вниз? Перебором n = 8, m = 3
O O O P P P O P P O P О P O O P P O P O P
Ответ: 0,375.
3. Побрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что все монеты упадут решкой вниз?
O O O n = 8, m = 1 P P P O P P O P О O O P P O O P O O P O P Ответ: 0,125.
4. В коробке 25 шаров красного цвета и 10 шаров белого цвета. Найти вероятность того, что наугад взятый шар окажется белым.
25+10 = 35 (n – общее количество шаров) P(A) = 0 Ответ: .
5. В корзине 35 яблок, из них 15 красных, остальные зелёные. Найти вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется зелёным. 35-15 = 20 (m – зелёных яблок) P(A) = 0 Ответ:
4. Степени.
Примеры решения: 1. 2) 3) mn 4) Ответ: 2.81432732∙16433253=34343325∙24342535=3412∙2412336∙2515=33∙2332∙23=27∙89∙8=3 Ответ:3 3. 2734∙2732335∙337=3343∙3313335+7=3312∙3363312=34∙32234=3634=36-4=32=9 Ответ: 9 4. 221∙821732∙734=221∙2312736=2∙12∙23272=2272=449 Ответ:449
1. 2. 3. 4. 5. (( 6.
5. Тригонометрия.
Тригонометрия часть I. 1. Упростить: = Ответ: .
2. Докажите тождество Приведём левую часть к правой Тождество доказано.
Экзаменационные задания. 3. Доказать тождество = Приведём левую часть к правой Тождество доказано.
4. Упростить: = Ответ:
5. Найдите значение выражения при х= При х = имеем: Ответ:
Тригонометрия I часть. Экзаменационные задания. Тригонометрия часть II. Уравнения. I. II.
III. . 2 Введение новой переменной. Сведение к квадратному.
a = 2, b = - 7, c = 3
E() Ответ: 4 Вынесение общего множителя за скобки.
или
Ответ:
Формула Ньютона – Лейбница. О: Интегралом от a до b f(x)dx называется приращение первообразной. Формула Ньютона – Лейбница. a – нижний предел интегрирования. b – верхний придел интегрирования.
Параллелепипед. 1. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы. 2. Т19.2 У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Понятия объема. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) Равные тела имеют равные объемы. 2) Если тело разбито на части, являющимися простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей. Объем куба, ребро которого равно единица длины, равен единицы. Задачи: 1. Найдите объем прямой призмы , если угол ВАС равен 120˚, АВ=10 см, АС=6см и наибольшая из площадей боковых граней равна 105 .
3) , значит ВС = 14 см. 4) - прямоугольник 105 =14 ; 5)
2. Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 20, 20 и 24см, а боковое ребро, равное 16см, составляет с плоскостью основания угол 60˚.
АВ=20см, AC=20cм, ВС=24см,
Найти Vпр.
Решение: 1) 2)По формуле Герона найдем S осн. р- полупериметр 4) 5) Vпр.=192 Ответ: 3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 36 см и составляет угол 30°, с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.
АС1 = 36 см В1 АС1 = 30° А1 АС1 = 45°
Найти: Vпарал. Решение: АС1 – наклонная к АА1В1В, АВ1 – её проекция
1) Vпарал. = abc = Sосн. · H 2) ∆ АВ1С1: АВ1С1 = 90°, т.к. В1С1 А1АВВ1, а значит В1С1 В1А по определению перпендикуляра к плоскости В1АС1 = 30° по условию, а значит В1С1 = по свойству катета, лежащего напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике. 3) ∆ АА1С1: АА1С1 = 90°, т.к. параллелепипед прямоугольный АА1 = АС1 · cos45° = см 4) ∆ АА1С1: АА1С1 = 90°, А1АС = 45° по условию, а значит АС1А1 = 45°, поэтому АА1 = А1С1 = 18 см. 5) ∆ А1В1С1: А1В1С1 = 90° По т. Пифагора А 1В1 = = = = = 18 см 6) Vпарал. = 18 · 18· = 5832 см3 Ответ: 5832 см3 4. В правильной призме четырёхугольной сторона основания 8 см. Диагональ призмы 18 см. Найдите объем призмы.
B1D1 = 3) BB1D1: BB1D1 = 90 , так как призма правильная, значит BB1 A1B1C1 D1 По теореме Пифагора: BB1 = 4) Vпр = 64 *14 = 896 см3. Ответ: 896 см3.
Пирамида. О: Многоугольник, одна из грани которой – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамида. Отрезки соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Усеченная пирамида. Т19.5 Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Правильная пирамида. О: Пирамида называется правильной, если ее основание является правильный многоугольник, а основание высоты соединяет с центром этого многоугольника. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Т19.6 Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофемы. Объем пирамиды. О: Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: V = . Задачи:
1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковые рёбра 40см, а высота 32см. Найти объём пирамиды. Дано: SABCD – правильный четырёхугольник, SC = 40см, SO = 32см, SO ABCD. Найти: Vпр. Решение: 1) Vпр. = Sосн. * Н
2) Так как пирамида правильная четырёхугольная, значит в основании её лежит квадрат. Sкв. = 3) По теореме Пифагора: ОС = см, значит АС = 48см, BD = 48см. 4) SABCD = см3. Ответ: см3.
Так как пирамида правильная, SD – апофема. По теореме Пифагора найдём SD (катет). SD = SB2 – DB2 = Sбок. = см2 Ответ: Sбок. = см2
3. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13см, АС = 10 см, каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол 30 . Вычислите объём пирамиды.
R – радиус описанной окружности
По теореме косинусов в треугольнике АВС: 100 = 2 * 2 * 169 * Значит, R = OB = Из треугольника SOB найдём высоту SO: SO S ABC = , где p = S ABC = V = S ABC *30 = Ответ: 9. Тела вращения.
Тела вращения.
Цилиндр. 1 В цилиндр площадь осевого сечения которого равна 48см2 вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом равным 4 и прилежащим к нему углом 30 . Найти объём цилиндра.
2. АВ = центр описанный около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а значит АВ – диаметр, R = = 4см. 3.АА1В1В – осевое сечение цилиндра. АА1В1В = АВ * АА1 48 = 8 * АА1 АА1 = значит Н = 6см. 4. VЦил.= 3 Ответ: 3
Запомни! (Частный случай.)
а КМ = 15м. 4) Рассмотрим треугольник О1КМ: О1КМ = 90 . По теореме Пифагора: О1М = 5) Sосн. = 2 Ответ: Sосн. = 2.
3. В шар, радиус которого равен 18см, вписан цилиндр. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с основанием угол 30о. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
вписан в шар, CAD=30о Найти: Sбок.цил.
1) Sбок.цил.= 2 RH 2) ∆ ADC: ADC = 90о, т.к CD AD СD = AC = 36 = 18cм по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 в прямоугольном треугольнике, а значит H =1 8см ∆ADC: ADC = 90о 3) AD = AC cos30o = =18 cм Rосн.цил = = = 9 cм. 4) Sбок.цил. = 2П = 324 П см2 Ответ: 324 П см2 4. Около шара, радиус которого равен 15 м, описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Дано: ω шар (О;15), АВСД – цилиндр, описан около шара Найти: Sбок. пов.
Решение 1) Sбок. пов. = 2πRH 2) D = 2 · ОО1 = 15 · 2 = 30м 3) Sбок. пов. = 2π · 15 · 30 = 900π м2 Ответ: 900π м2
5. Найдите объем цилиндра, описанного около сферы радиуса 9см. Дано: ω сфера (О;9), АВСД – цилиндр, описан около шара Найти: Vцил Решение 1) Vцил. = π R2H 2) Н = 2R = 2 · 9 = 18 см 3) Vцил. = π · 92 · 18 = 1458 π см3 Ответ: 1458 π см3 6. Около шара описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 24см. Дано: ω шар (О; R), АВСД – цилиндр, описан около шара H = 24cм Найти: Sбок. пов. Решение 1) Sбок. пов. = 2πRH 2) R = = = 12 cм 3) Sбок. пов. = 2π · 12 · 24 = 576 π cм2 Ответ: 576 π cм2 7. В цилиндре АВСД проведен отрезок С1Д1, равный 18 см и параллельный основанию. Известно, что радиус основания равен 40 см. Найти расстояние от отрезка С1Д1 до оси цилиндра.
С1Д1 = 18 см
1) Рассмотрим ЕС1Д1: ЕС1 = ЕД1 = 40см, как радиусы одной окружности по Т 20.1 2) ЕК С1Д1, по условию, а высота в равнобедренном треугольнике, опущенная из его вершины, является медианой и высотой, поэтому КД1 = 9 см 3) ∆ ЕКД1: ЕКД1 = 90° По т. Пифагора ЕК = = = = = 7 см Ответ: 7 см
Конус. О: Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета, называется конусом.
Разв
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 112; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.73.187 (0.422 с.) |