Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 2. Числовые последовательности. Предел последовательности
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция , определённая на множестве всех натуральных чисел . Её обозначают или где . Число называется n – м (общим) членом последовательности, а число n – номером члена . Способы задания числовой последовательности: 1. Задание функции , порождающей последовательность: (1) Формулу (1) называют формулой общего члена последовательности. По этой формуле можно вычислить любой член последовательности. Примеры: 1) . Тогда и т.д. Последовательность имеет вид: . 2) . Тогда , , , и т.д. Последовательность имеет вид: 0; 1; 0; 1; 0; 1; . Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью. 2. Рекуррентный способ задания последовательности, который состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, а также задаются несколько начальных членов последовательности. Формула, позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, называется рекуррентным соотношением. Пример: . Тогда ; ; ; ;
Последовательность имеет вид: 1; 0; -1; -2; -3; -4;…. 3. Последовательность задаётся словесно, то есть описанием её членов.
ОГРАНИЧЕННЫЕ И МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что для любого выполняется неравенство (то есть ). В противном случае последовательность называется неограниченной. Примеры: 1) . Последовательность имеет вид: . Так как , то . Тогда по определению 1 последовательность ограничена. 2) . Последовательность имеет вид: -1; 1; -1; 1; -1; 1; …; ; …. Так как , то . Тогда по определению 1 последовательность ограничена. Определение 2. Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство . Если же , то последовательность называется строго возрастающей. Определение 3. Последовательность называется убывающей, если для любого имеет место неравенство . Если же , то последовательность называется строго убывающей.
Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Пример: Последовательность задана формулой . Тогда . Так как , т.е. , то последовательность строго убывает.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пример: Рассмотрим последовательность . Последовательность имеет вид: . Таким образом, с возрастанием номера n приближается к 8. Придадим этому утверждению точную математическую формулировку. Зафиксируем число и поставим вопрос, каким должно быть n, чтобы модуль был меньше 0,001? Для произвольного числа неравенство (1) равносильно неравенству . Так как , то неравенство (1) выполняется для всех , где – целая часть числа . В этом случае говорят, что предел последовательности равен 8 и пишут . Определение 1. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа найдётся такое натуральное число N, что для любого номера выполняется неравенство . В этом случае пишут . Иначе, . Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Доказательство: Пусть . Зафиксируем некоторое , тогда . Таким образом, . Вне интервала могут оказаться лишь N первых членов последовательности: . Среди чисел найдём наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно m и M. Тогда . Отсюда последовательность ограничена. Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство: Используем метод от противного. Пусть последовательность имеет два различных предела a и b (для определённости ). Возьмём , отсюда . Тогда справедливо неравенство: . (2) Отсюда , в частности, . С другой стороны, . Отсюда , в частности, . Получаем для , где , что противоречит неравенству (2). Теорема доказана.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 156; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.124.65 (0.012 с.) |