РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Тема 1. ФУНКЦИЯ
Определение 1. Функцией (или отображением) из множества X в множество Y будем называть правило f, по которому каждому элементу из множества X соответствует единственный элемент из множества Y. 
Элемент 
называется образом элемента x при отображении f.
Определение 2. Если 
, 
, то функцию f называют действительной функцией действительной переменной.
Множество 
называют областью определения функции f, множество 
называют множеством значений функции f, 
называют аргументом функции f, а – значением функции f в точке x (
).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) аналитический;
2) графический;
3) табличный;
4) описательный.
1) аналитический способ: наиболее часто функцию задают с помощью формулы (
, 
). Под областью определения в этом случае естественно понимать множество всех значений x, для которых определено значение выражения 
.
Пример:
2) графический способ:
Определение. Графиком функции называется множество 
точек координатной плоскости.
Замечание. Некоторое множество координатной плоскости является графиком некоторой функции, если это множество имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY.
Наиболее важными при рассмотрении графика функции являются две задачи:
1) функция f задана аналитически. Требуется исследовать свойства этой функции и построить её график (часто это эскиз графика).
Пример:
1) 
– можно построить график точно;
2) 
– можно построить эскиз графика.
2) функция f задана графически. Требуется определить основные свойства функции, т.е. «прочитать» график.
3) табличный способ:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 
|
| y | 
| 
| 1 | 
|
|
4) описательный способ:
В случаях, когда формулу, по которой каждому ставится в соответствие , записать трудно (или невозможно), пользуются словесным описанием способа, задающего функцию.
Пример:
Каждому действительному числу x ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x. Эта функция называется целой частью x и обозначается 
.
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
1) монотонные функции;
2) ограниченные и неограниченные функции;
3) чётные и нечётные функции;
4) периодические функции.
1) монотонные функции:
Определение 1. Функция 
называется возрастающей на множестве 
, если для любых 
из условия 
следует 
.
Определение 2. Функция называется убывающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Определение 3. Функция называется неубывающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Определение 4. Функция называется невозрастающей на множестве , если для любых из условия следует 
.
Функции всех четырёх классов называются монотонными.
Определение 5. Функция называется кусочно-монотонной, если её область определения 
можно разбить на конечное множество промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
Примеры: 
, 
2) ограниченные и неограниченные функции:
Определение 1. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если множество 
является ограниченным сверху, то есть 
.
Определение 2. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если множество является ограниченным снизу, то есть 
.
Определение 3. Функция называется ограниченной на множестве , если множество ограничено, то есть 
.
В противном случае функция называется неограниченной.
3) чётные и нечётные функции:
Определение 1. Функция называется чётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то 
;
2) 
.
Определение 2. Функция называется нечётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;
2) 
.
4) периодические функции:
Определение. Функция называется периодической с периодом 
, если:
1) 
;
2) 
.
Если 
– период функции 
, то для любого 
- тоже период. Наибольшего периода не существует. Но не всякая функция имеет наименьший положительный период.
Пример:
Функция Дирихле не имеет наименьшего положительного периода, так как 
, отсюда любое 
есть период функции 
, но наименьшего положительного рационального числа не существует.
|
| Поделиться: |
