![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Взаимосвязь определителей большего и меньшего порядка. Разложение по строке. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Запишем разложение определителя порядка 3.
Вынесем за скобку элементы первой строки (они есть в 2 из 6 слагаемых): То, что получилось в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов соответственно Выражение в 1-й скобке
Заметим, что Если для элемента Мы видим, что в одних случаях алгебраическое дополнение равно минору, а где-то противоположно ему по знаку. Взаимосвязь алгебраических дополнений и миноров для произвольных i,j:
Итак, определители можно вычислять разложением по строке:
Разложение возможно по любой строке или по любому столбцу. Так, например, в той же рассмотренной ранее записи можно собрать пары слагаемых, содержащих
Лемма. Доказательство. 1) Если для произвольного определителя 2) Если рассмотреть сумму
3) Общий случай. Рассмотрим сумму из
Теорема 1. Сумма всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы: Доказательство. Каждое алгебраическое дополнение состоит из В итоге получим
Теорема 2. Если матрица треугольная, то Доказательство. Пусть дан определитель Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные
для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.
Пример.
Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится. Теорема 3. Сумма всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0: Доказательство. Если числа i-й строки умножаются на алгебраические дополнения к клетке на месте (1,1), (1,2),... (1,n) (ведь алгебраические дополнения не зависят от того, какое число в этой клетке было, а только от расположения), то это всё равно, что в 1-ю строку поставить копии чисел
Но такой определитель равен 0, так как две строки одинаковы. Обобщим метод разложения по строке. Введём понятие дополняющего минора и алгебраического дополнения к минору, а не к элементу. Если выбрать какие-либо
Теорема 4. Формула взаимосвязи минора и алгебраического дополнения: Доказательство. 1) Пусть исходный минор расположен в верхнем левом углу.
Все те члены определителя матрицы, в которых есть элементы этих миноров Причём перестановки, их задающие, содержат числа В этом случае, 2) Пусть минор
= Таким образом, чтобы вычислить алгебраическое дополнение к минору Произведение
Теорема 5 (Лапласа). Пусть в определителе порядка n произвольно выбрано k строк. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения, равна Доказательство. Количество миноров, содержащихся в k строках, равно числу сочетаний Для каждого из них получится сумма
Теорема 5 даёт возможность быстро считать определители блочно-диагональных и блочно-треугольных матриц. Например, для примера ниже - нет необходимости искать все 24 набора, достаточно вычислить так:
(В первых двух строках - всего один минор порядка 2).
Теорема 6. Определитель произведения квадратных матриц порядка n равен произведению определителей: Доказательство. Построим такую вспомогательную матрицу порядка 2n:
По теореме Лапласа, её определитель равен произведению двух миноров порядка n, то есть Теперь преобразуем матрицу, складывая столбцы (что, очевидно, не ведёт к изменению определителя). К
но это 1-й столбец произведения матриц: Аналогичными действиями обнуляем
Получается, что определитель этой матрицы равен Итак,
§ 3. Обратная матрица. Определение. Матрица называется вырожденной, если Определение. Пусть Обозначение: Обратная матрица обозначается
Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны. Лемма. Если Доказательство. Пусть Но тогда получается
Итак, Теорема 1. Обратная матрица Доказательство. Для доказательства рассмотрим
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-28; просмотров: 92; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.192.241 (0.057 с.) |