Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Бинарные алгебраические операции.
Взаимосвязь между матанализом и алгеброй. В матанализе изучаются, в частности, функции одного и двух аргументов. Пример 1. , т.е. Пример 2. , здесь Если множество, на котором задано отображение - не числовая прямая, а какое-то дискретное множество, то применяются алгебраические понятия - унарные и бинарные алгебраические операции (по числу аргументов). Существуют и n-арные операции, например, общий перпендикуляр к трём векторам в 4-мерном пространстве (тогда n=3).
Простейшие примеры. Отображение множества из 3 первых натуральных чисел в само себя. Если в верхней строке записать числа по порядку, а в нижней строке - образ каждого из них, то получится, к примеру, такая запись: Подстановка. Впрочем, верхняя строка информации не несёт, можно писать только 2-ю строку, это называется перестановкой. Пример: (3 1 2). Перестановок 2 порядка всего две: (1 2) и (2 1). Перестановки 3 порядка: (1 2 3), (1 3 2) (2 1 3), (2 3 1) (3 1 2), (3 2 1). Их всего 6. Чтобы перечислить их все, можно на 1 месте поставить число, а на двух других остаётся по 2 варианта расположить оставшиеся 2 числа. Лемма. Существует n! перестановок порядка n. Доказательство. Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21). Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается что как раз равно n!, что и требовалось доказать.
В частности, при n = 3 получается 6 перестановок: (123) (132) (213) (231) (312) (321) На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.
Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инверсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно).
Группоид Определение 1. На множестве задана бинарная алгебраическая операция, если каждой паре элементов поставлен в соответствие однозначно определённый элемент .
Примечание. Результат операции также принадлежит М, другими словами, множество замкнуто относительно этой операции.
Это означает, что задано отображение (задана функция) , . В матанализе используется функциональные обозначения , а в алгебре - знаки алгебраической операции, например . Граница между матанализом и алгеброй очень тонкая. И та, и другая область математики изучает отображения. В матанализе они называются функциями, здесь - алгебраическими операциями. Операция, например, может быть сложением или умножением, но не обязательно, на самом деле существует более обширный класс операций, а сложение и умножение - лишь частные случаи.
Определение 2. Если на задана бинарная алгебраическая операция, то называется группоидом, и обозначается .
Примеры. 1. Множество целых чисел с операцией сложения. является группоидом, так как результат операции - это снова целое число, то есть операция не выводит за пределы этого множества. 2. Множество целых чисел с операцией умножения. . Аналогично прошлому примеру, является группоидом. 3. , где является группоидом. Положительная степень натурального числа есть снова натуральное число. 4. Множество натуральных чисел с операцией вычитания. . . Не является группоидом, так как эта операция может привести к тому, что результат не принадлежит данному множеству, например, если .
Свойства операций. 1. Коммутативность. Если для любых верно , то операция называется коммутативной, и соответственно, группоид - коммутативным. Примеры. 1. 2. 3. 4. коммутативные группоиды. 5. , где . Не коммутативный группоид. Как минимум, , есть и много других примеров. 2. Ассоциативность. Если верно , то операция называется ассоциативной, и соответственно, группоид - ассоциативным (в таком случае его называют полугруппой). Примеры. 1. 2. 3. 4. ассоциативные группоиды. 5. , где . Не ассоциативный группоид. , так как в общем случае .
Нейтральный элемент. Пусть дан группоид . Если существует такой элемент , что выполняется , то называется нейтральным элементом этого группоида.
Пример 1. операция сложения, тогда . Пример 2. операция умножения, тогда .
Нейтральный элемент существует не всегда. Пример 3. Векторное умножение в пространстве. Если каждой паре векторов ставится в соответствие их общий перпендикуляр, то результат действия операции перпендикулярен каждому из векторов, и невозможна ситуация .
Пример 4. , операция . Тогда . .
Лемма. Если существует нейтральный элемент, то он единственный. Доказательство. Допустим, что существует 2 нейтральных элемента, и . Если мы умножим их между собой, то должно быть во-первых , так как нейтральный, но во-вторых, тогда , так как тоже нейтральный. Получается , , то есть . Симметричный (обратный) элемент Определение. Пусть группоид содержит нейтральный элемент . Элемент . Элемент называется симметричным относительно , если . Примеры. 1. При сложении, в , нейтральный , симметричный это противоположный элемент . 2. При умножении, в , нейтральный , симметричный это обратный элемент: для существует . 3. , операция . . Обратный равен , так как . Лемма. Пусть полугруппа (т.е. операция ассоциативна). Тогда, если для элемента существует симметричный, то он единственный. Доказательство. Пусть для существует 2 разных симметричных элемента, и . Тогда , . Рассмотрим равенство , из него следует, что , но тогда .
Пример. Подстановки, нейтральный обратный элемент:
Группы Определение. Множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой, если: 1) выполняется ассоциативность, т.е.
2) существует нейтральный элемент , то есть 3) существует симметричный (обратный) , т.е. . Примеры. , , - «аддитивные» группы (по сложению). , - «мультипликативные» группы (по умножению). Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. Определение подгруппы. Непустое подмножество группы называется подгруппой, если само является группой относительно операции, введённой в группе . Примеры. Крайние случаи: 1) сама группа есть подгруппа, . 2) множество, состоящее только из нейтрального элемента, . Пример. , все чётные числа. 0 нейтральный как в самой , так и в подгруппе. Впрочем, подгруппой является любое подмножество вида . Пример. Подмножество подгруппой не является, т.к. результат сложения может быть и больше 3, т.е. выводит за пределы этого множества. Примеры.
Пример. Конечная группа, дана таблица умножения элементов:
Похоже на то, что было при изучении подстановок, только не унарная, а бинарная операция. Есть , это 1. Для каждого есть обратный. Для 2 это 3, для 3 это 2. В каждой строке (и каждом столбце) перестановка из трёх различных чисел.
--- перерыв ---
|
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-28; просмотров: 325; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.125.169 (0.039 с.) |