Обработка неравноточных рядов наблюдений

 

Ряды результатов наблюдений назы­ваются неравнорассеянными (неравноточными), если оценки их дисперсий значимо отличаются друг от друга, а средние арифме­тические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины. Неравноточные измерения проводятся с использованием различных методов измерений, разными средствами измерений, в разное время.

Основой для расчета служат следующие данные:

1) ; ;…; - средние арифметические m рядов равноточных результатов наблюдений постоянной физической вели­чины;

2) ; ;…; - средние квадратические отклонения (или их оценки) результатов наблюдений в отдельных рядах;

3) n₁, n₂;…;n_m - числа наблюдений в каждом ряду;

4) m - число рядов.

В качестве действительного значения измеряемой величины принимается значение среднего взвешенного:

. (1)

Величина , определенная в соответствии с выражением (1), называется средним взвешенным, а коэффициенты а_j - весовыми коэффициентами исходных средних арифметических. Именно они и характеризуют степень до­верия к cоответствующему ряду наблюдений.

Желательно так выбрать весовые коэффициенты, чтобы они обращали в минимум дисперсию среднего взвешенного. Последняя, в соответствии с уравнением (1), составляет:

(2)

 

где - дисперсия j -го среднего арифметического, которая в n_j раз меньше дисперсии результатов j -го ряда наблюдений.

Весовые коэффициенты определяются по формуле:

(3)

Расчет также можно вести с использованием весов.

Величина

, (4)

называется весом j -го среднего арифметического, причем коэффи­циент может быть любым числом как размерным, так и без­размерным. В выражениях для весовых коэффициентов (3) этот коэффициент пропадает, поэтому он не сказывается на вычис­лениях среднего взвешенного и его дисперсии. Действительно, под­ставив выражение (4) в формулу (3), имеем:

(5)

Веса средних арифметических вычислить по формуле (4) зна­чительно проще, чем весовые коэффициенты по формуле (3), поэтому имеет смысл записать выражение для среднего взвешен­ного через отдельные веса:

(6)

Подставив далее значения весовых коэффициентов (3) в формулу (2), получим значение дисперсии и, соответственно, среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного:

(7)

. (8)

Границы доверительного интервала погрешности результата (в предположении отсутствия систематической погрешности) определяются по формуле:

δ = ± , (9)

где – значение коэффициента Стьюдента, определяется по таблице (см. Приложение 2) с эффективным числом степеней свободы k_эфф равным:

k_{эфф =} (10)

Задача № 2

 

Определить действительное значение измеряемой величины и доверительные границы погрешности этого результата для своего варианта в предположении того, что систематические погрешности отсутствуют. Значение доверительной вероятности принять равной P = 0,95.

Таблица 2

Кол-во измер.

Ряды измерений

Продолжение табл.2

Таблица 3

Вариант	Ряд и кол-во измерений в ряду
	2-15;6-15;12-13
	1-14;4-8;7-10;11-6
	1-10;12-12;13-15;15-6
	7-7;8-15;11-15
	2-7;9-14;15-13
	1-10;3-9;13-13;15-8
	5-15;10-15;15-14
	1-10; 5-12;7-8;12-7
	1-11; 12-14; 15-7;6-8
	5-8; 9-9;3-13; 6-14
	14-8;13-9; 2-5; 10-10
	2-12;3-5;15-10
	3-14;4-11;5-10
	1-9;10-9;15-7
	4-14;7-12;9-8;11-6
	10-5;13-8;15-11
	5-10;8-13;11-9; 14-6
	1-11;2-11;3-11;4-11
	2-8; 4-8;8-8;11-8
	3-10;12-10;15-8
	2-12;5-14;7-9;12-10
	5-15;7-11;14-7
	2-6;8-13;12-14;15-9
	9-11;7-15;4-12;5-10
	2-15;13-7;7-8;9-13