Экстремумы функций многих переменных

 

Решение задачи оптимизации усложняется, если критерий опти-мальности является функцией нескольких независимых переменных.

Для непрерывной функции F = F (x ₁, x ₂,…, x_n), имеющей непрерыв-ные производные первого и второго порядков по всем переменным x_i (i = 1,…, n), необходимым условием экстремума в точке x_i служит ра-венство нулю частных производных по всем переменным, т.е. точки, в которых может быть экстремум функции, определяются решением сис-темы уравнений

 

¶ F (x 1, x 2,..., xn)	= 0,	i =1,..., n.	(4.4)
¶ xi

Левые части уравнений есть функции факторов x₁, …, x_n. Поэтому решение системы (4.4) дает оптимальное значение факторов. Если оп-тимизируется технологический процесс, то этому решению соответст-вует оптимальный режим.

 

Рассмотрим частные задачи оптимизации ХТП с использованием математических моделей.

 

Оптимизация реактора идеального смешения

 

В реакторе идеального смешения протекает реакция

 

Определить оптимальное время пребывания реагентов в реакторе, при котором достигается максимальный выход целевого продукта B (рис. 4.4).

 

 

C

 

^CA ₀

^CB	CC
max

 

^CB

C_A

 

 

Рис. 4.4

 

Составим математическую модель:

 

^dC _dt ^A = _t ¹ (C _{A 0}- C _A)- k ₁ C_A;

 

^dC_dt^B = _t ¹ (C _{B 0}- C _B)+ k ₁ C _A - k ₂ C_B;

 

^dC _dt ^C = _t ¹ (C_{C 0}- C_C)+ k ₂ C_B.

 

Начальные условия: при t = 0 С _А (0) = С _{А 0}; С _В (0) = С _{В 0}.

В стационарном режиме работы реактора

 

^dC_dt^B = 0;

 

при C_{B 0} = 0 уравнение (4.6) примет следующий вид:

 

- _t ¹ C _B + k ₁ C _A - k ₂ C_B =0;

 

k ₁ C _A × t = C _B + k ₂ C_B × t;

_{C =} ^k 1 ^CA ^{× t} _.

_B 1+ k ₂ t

 

Приравниваем к нулю уравнение (4.5):

 

C _{A 0}- C _A - k ₁ C_At =0;

 

C _{A 0}= C _A (1+ k ₁ t);

_{C =} ^CA 0_.

_A 1+ k ₁ t

 

(4.5)

 

 

(4.6)

 

 

(4.7)

 

 

(4.8)

 

 

(4.9)

 

 

Полученное выражение подставим в (4.8):

 

CB =	k 1 CA t	(4.10)
(1 + k 2 t)(1 + k 1 t)^.

 

Для определения оптимального времени контакта (t _опт), при котором достигается максимальное значение концентрации С_В, необходимо уравне-ние (4.10) продифференцировать по t и приравнять производную к нулю:

dF

k 1 C A (1+ k 1 t)(1+ k 2 t

)- k 1 C A t é k 1(1+ k 2 t)+ k 2

(1 + k 1 t)ù

=

ë

û

= 0.

(4.11)

dt

é (1 + k t)(1 + k

t

)ù^2

ë

û

Отсюда выразим время контакта:

^t опт

=

;

k 1

× k 2

^k 1 ^CA 0

×

(4.12)

F = CB

=

k 1× k 2

.

æ

k 1

öæ

k 2

ö

max

ç 1+

֍ 1

+

÷

k × k

ç

֍

k

× k

÷

è

øè

ø

Задача поиска оптимальной температуры