Достаточное условие локального экстремума

Теорема 4. Если функция непрерывна в окрестности точки ,

, дифференцируема в проколотой окрестности точки , и производная меняет свой знак при переходе через эту точку, точка будет являться точкой локального экстремума, а именно: точкой локального максимума, если производная меняет свой знак с минуса на плюс, и точкой локального минимума, если производная меняет знак с минуса на плюс.

Доказательство. 1. Рассмотрим случай, когда при и при , .

2. Заданная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа на отрезке , т.е. .

3. Воспользуемся формулой Лагранжа

, .

4. Если , т.е. , и по условию , то , так как . Тогда или при .

5. Воспользуемся формулой Лагранжа на отрезке , т.е. :

, .

6. Если , т.е. , а по условию, то, , так как . Значит, или при .

7. Итак, если производная меняет свой знак с плюса на минус, то

для . Тогда по определению точки локального максимума, точка является точкой локального максимума функции.

Аналогично доказывается существование локального минимума, когда производная меняет свой знак с минуса на плюс в .

Определение 5. Пусть функция определена в некоторой окрестно-

сти точки , . Тогда точка будет называется точкой возрастания функции , если : , и (): (рис. 5).

Определение 6. Пусть функция определена в некоторой окрестно-сти точки , . Тогда точка будет называется точкой убывания

функции , если : , и

() (рис. 6).

 

Рис. 5.

Рис. 6.

Теорема 5. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки

, , производные до n-го порядка включительно, и производная по-

рядка n, , непрерывна в точке , а все производные до (n–1)-го порядка

равны нулю:

, .

Тогда, если n – четное число, то функция в точке имеет локальный экстремум. Т.е., максимум, если , и минимум, если . Если же если n – нечетное число, то функция в точке не имеет локального экстремума.

Доказательство. 1. Запишем формулу Тейлора для функции в точке , с остаточным членом в форме Лагранжа для (n–1)-го членов:

, .

2. Так как по условию теоремы , то фор- мула Тейлора для функции примет вид:

, .

I. 3. Пусть n – четное число и производная , тогда при тоже, а по условию п.3.

4. Так как при четном n, то и в , тогда точка будет являться точкой локального минимума функции .

5. Если , то точка будет являться точкой локального максимума функции .

II. 6. Пусть n – четное число, . Тогда разность имеет разные знаки слева и справа от точки в любой окрестности . Следовательно, точка будет являться точкой локального экстремума функции .

Следствие 1. Если , а , то при точка будет являться точкой строгого минимума, а при точка будет являться точкой строгого максимума.

Следствие 2. Если и , то точка будет являться точкой возрастания функции . Если , то точка будет являться точкой убывания функции .

Замечание 4. В формулировке следствия опустили требование непрерыв-

ности производной в точке . Это сделано сознательно. Требование непрерывности является лишним и сделано лишь для упрощения доказательства теоремы 5.

Пример 2. Дана функция . Проверить существование локального экстремума в точке .

1. Определим значение функции в точке и первую производную:

, ,

2. Вычислим вторую производную: .

3. Вычислим третью производную:

4. Так как , 6>0, и n=3, 3 – нечетное число, то функция точке локального экстремума не имеет.