Критерии отрыва для ламинарных и турбулентных течений в пограничном слое. Потери полного давления на обтекаемой поверхности.

OТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИМ ПОТОКОМ

В 1904 г. Л. Прандтль в своем докладе «О движении жидкости при очень малом трении», прочитанном на математическом конгрессе в Гейдельберге, указал путь, сделавший доступным теоретическому исследованию течения жидкости с трением в практически важных случаях. А именно, исходя из теоретических соображений и некоторых простых экспериментов, Л. Прандтль показал, что течение в окрестности тела можно разделить на две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать. Эта гипотеза, с одной стороны, позволила получить физически очень наглядное объяснение важной роли вязкости в проблеме сопротивления, а с другой стороны, дала возможность преодолеть математические трудности и тем самым открыла путь теоретическому исследованию течений жидкости с трением.

Плоское течение около тонкого клина при очень малой вязкости среды (очень большое число Рейнольдса)

 

 

Обозначим величины:

u -продольная скорость(вдоль оси х);

v- поперечная скорость (вдоль оси у);

U- скорость внешнего потока;

V- скорость набегающего потока;

δ- толщина пограничного слоя;

L- характерный линейный размер тела

В течении будем рассматривать 2 области:

— Первая область - очень тонкий слой в непосредственной близости от тела. В этой области градиент скорости ∂u/∂y в направлении, перпендикулярном к стенке, очень велик, а вязкость μ оказывает существенное влияние на течение, поскольку здесь касательное напряжение τ= μ ∂u/∂y, вызванное трением, может принимать большие значения

— Вторая область-все остальное течение вне пограничного слоя. В этой области градиент скорости не достигает таких больших значений, как в пограничном слое, поэтому действие вязкости здесь не играет роли и можно считать, что течение здесь потенциальное.

Запишем уравнения Навье-Стокса в безразмерной форме, для этого:

— все скорости отнесем к скорости V набегающего потока;

— все длины –к характерному линейному размеру тела L,который выберем так, чтобы безразмерная величина ∂u/∂x в рассматриваемой области течения не превышала по порядку единицу;

— давление и время разделим соответственно на ρV² и на L/V;

— введем число РейнольдсаRe=VL/ν

 

Схематическое изображение отрыва пограничного слоя и образования вихрей при обтекании круглого цилиндра; А-точка отрыва.

Критерии отрыва пограничного слоя:

Параметры, определяющие течение:

• U – скорость;

• ρ – плотность;

• Р – давление внешнего потока в сечении х^*;

• Р́_х(х^*);

• z- характерный размер пограничного слоя,

• μ – характерная constвязкости;

• λ – const теплопроводности;

• γ – отношение теплоёмкостей.

Характерным линейным размером пограничного слоя может быть δ, δ^*, δ^** и др.

- толщина вытеснения

 

 

-

толщина потери импульса

 

По

теореме размерностей все безразмерные величины есть функции только безразмерных комбинаций определяющих параметров

 

В точке отрыва пограничного слоя τ=0, т.е Ф=0, следовательно, соотношение (11) можно разрешить относительно параметра

 

Разложим функцию φ по 1/Re_z:

 

Совершим предельный переход μ→0.

В ламинарном пограничном слое при μ→0, Re→∞, z→0.
Следовательно,

 

Известно, что z/L~(Re)^-1/2 (Re=ρUL/μ), следовательно

 

 

T.к. φ₀(М) не стремится к 0 при μ→0, то для ламинарного пограничного слоя φ₀(М) ≡0.

Умножая обе части равенства (12) на ρUz/μ и переходя к пределу при Re→∞, получим, что в точке отрыва ламинарного пограничного слоя справедливо соотношение:

 

В случае турбулентного пограничного слоя при μ→0 характерный размер пограничного слоя z не стремится к 0 (т.к.толщина пограничного слоя определяется турбулентным перемешиванием). Следовательно, не стремится к 0 и Р́_хz/ρU². Поэтому в случае турбулентного пограничного слоя φ₀(М)≠0. Все остальные члены в (12) содержат Re^-1. Устремляя μ→0 (Re→∞), получим для турбулентного пограничного слоя над точкой отрыва соотношение: