Затухающие колебания и их характеристики

С в о б о д н ы е к о л е б а н и я р е а л ь н ы х с и с т е м в с е г д а з а т у х а ю т, так как часть первоначальной энергии системы тратится на работу против сил сопротивления в механических системах и на джоулево тепло - в электрических системах.

Рассмотрим свободные затухающие колебания пружинного маятника. Действующую на него силу сопротивления при малых скоростях движения груза можно считать пропорциональной скорости

.

где r - коэффициент сопротивления, зависящий от вязкости среды, размеров и формы тела; минус говорит о том, что сила всегда направлена против скорости.

С учетом силы сопротивления II закон Ньютона для груза имеет вид

.

Разделим его на m и введем обозначения

; .

Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника запишется в виде

,

где собственная частота,а называется коэффициентом затухания.

Следуя общим правилам решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем и находим для характеристическое уравнение

.

Общее решение уравнения (30)

,

где .

Здесь следует различать два случая. Если , то имеем два комплексно сопряженных значения . Общее решение уравнения движения может представлено в этом случае как

.

Учитывая (1а),затухающие колебания будут описываться функцией

,

где - начальная амплитуда; ; - начальная фаза. График зависимости изображен на рис. Строго говоря, з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я н е я в л я ю т с я п е р и о д и ч е с к и м и, так как значение амплитуды

не повторяются. Однако можно говорить об условной циклической частоте затухающих колебаний и об условном периоде

.

Энергия системы при условии в среднем за период убывает по закону

,

где - начальное значение энергии.

Второй случай реализуется, если . При этом оба значения вещественны и отрицательны. Общий вид решения

описывает апериодическое движение,при котором убывает,если .

Характеристики затухающих колебаний

В р е м я р е л а к с а ц и и - время, в течении которого амплитуда свободных колебаний убывает в е раз, то есть

.

Отсюда следует, что или

.

За время релаксации система успевает совершить число колебаний, равное

.

Л о г а р и ф м и ч е с к и й д е к р е м е н т к о л е б а н и й показывает, какую долю период составляет от времени релаксации и, таким образом, обратен по величине числу колебаний :

.

Практически логарифмический декремент определяется по формуле

.

Д о б р о т н о с т ь Q - равна отношению энергии системы Е(t) в момент времени t к убыли этой энергии за один последующий период затухающих колебаний, умноженному на

.

Учитывая (35)

.

При малых значениях логарифмического декремента

и .

 

Вынужденные колебания

В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я в о з н и к а ю т п р и в н е ш н е м п е р и о д и ч е с к о м в о з д е й с т в и и н а к о л е б а т е л ь н у ю с и с т е м у. Общей чертой вынужденных колебаний является то,что спустя некоторое время система полностью «забывает» свое начальное состояние,и в ней устанавливаются незатухающие колебания с частотой внешнего воздействия.

Рассмотрим вынужденные колебания на примере механической системы (рис.14). Маятник в виде заряженного шарика на длинном стержне из диэлектрика помещен между вертикальными пластинами плоского конденсатора, на которые подается переменное напряжение. Если внешняя сила изменяется гармонически с частотой и амплитудой

,

то уравнение движения для маятника имеет вид

.

Введя обозначения , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

.

Решением такого уравнения является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

,

где первый член описывает свободные затухающие колебания, второй - незатухающие колебания с частотой , амплитудой вынужденных колебаний А и сдвигом фазы между действием силы и смещением х.

Через время, равное времени релаксации , свободные колебания практически прекращаются и маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний с частотой внешней силы

.

Из этого следует, что

,

.

Подставим:

.

(1) (2) (3) (4)

Проведем сложение трех гармонических колебаний в левой части уравнения методом векторных диаграмм. Для этого произвольно расположим вектор , описывающий третье колебание. Вектор , описывающий первое колебание, опережает его на p, а вектор - на p/2. Так как сумма , из рисунка следует

;

.

 

Резонанс

Кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия W, называется резонансной кривой или амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ).

П р и п р и б л и ж е н и и ч а с т о т ы в н е ш н е й с и л ы W к ч а с т о т е w₀ н а б л ю д а е т с я в о з р а с т а н и е а м п л и т у д ы в ы н у ж д е н н ы х к о л е б а н и й.

Э т о я в л е н и е н а з ы в а е т с я р е з о н а н с о м.

Рассмотрим физическую сторону этого явления в разных областях частот.

Если W<<w₀, первый и второй члены в уравнении малы по сравнению с третьим и уравнение движения сводится к виду

.

В этом случае внешняя сила «идет» на преодоление квазиупругой силы, и колебания будут происходить со статической амплитудой

.

Если W>>w₀, первый член в левой части уравнения много больше остальных и уравнение движения будет иметь вид

.

Решение его будет описывать колебания с амплитудой , при которых силы трения и упругости становятся несущественными по сравнению с внешней силой. При W ® ¥ амплитуда колебания А стремится к нулю.

В области резонанса первый и третий члены уравнения (51) сравняются, а так как они противоположны по знаку, то

, .

Таким образом, в условиях резонанса роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действующих в механической системе сил трения и ускорение создается силой упругости. При этом система совершает почти «гармонические» колебания с максимальной для нее амплитудой

.

Значение р е з о н а н с н о й ч а с т о т ы W_РЕЗ можно определить из условия минимальности знаменателя в выражении ,

.

При d<<w₀ , и , а с учетом .

Отсюда следует, что чем выше добротность системы Q, тем острее «резонансный пик» (рис.

Поскольку энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, при резонансе система обладает наибольшей энергией Е_РЕЗ. Пусть и - циклические частоты, при которых энергия системы убывает в два раза по сравнению с ,тогда величина называется шириной резонансной кривой. Для системы с высокой добротностью ; и

.

Чтобы убедится в справедливости, составим соотношение

.

Так как ,а ,

то ,

отсюда . С учетом можно получить очень важное соотношение между полушириной резонансной кривой вынужденных колебаний и временем релаксации свободных затухающих колебаний:

.

ВОЛНЫ

Ф р о н т в о л н ы - геометрическое место точек системы, до которых доходят колебания источника к моменту времени t. Фронт волны представляет ту поверхность, которая отделяет часть системы, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе, называется в о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости - п л о с к а я в о л н а, или форму сферы - с ф е р и ч е с к а я в о л н а.

Волну можно считать сферической на расстояниях значительно превышающих размеры источника (точечный источник) и при условии, что скорость распространения возмущения одинакова по всем направлениям (изотропная среда). Если источник возмущения находится настолько далеко, что волновая поверхность представляет собой плоскость (сфера очень большого радиуса), то говорят о плоской волне. Волна называется п о п е р е ч н о й, если колебания совершаются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется п р о д о л ь н о й, если колебания происходят в направлении распространения волны.