![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
II. Умножение матрицы на числоСтр 1 из 3Следующая ⇒
Равенство матриц А=В, если 1. А[mxn]=B[mxn] 2. aij=bij Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны Операции над матрицами I. Сложение С[mxn]= А[mxn]+B[mxn], если сij= aij+bij Свойства сложения матриц 1. Коммутативность (переместительный закон) А+В=В+А Доказательствo: Пусть С[mxn]=А[mxn]+B[mxn], D[mxn]=B[mxn]+A[mxn], А) Размерности С и В совпадают Б) сij= aij+bij, по определению dij= bij+aij, но т.к. aij и bij – числа, то aij+bij= bij+aij→ cij=dij→C=В 2. Ассоциативность (Сочетательный закон) (A+B)+C=A+(B+C) Доказательствo: D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’ А) Размерность D’[mxn]=A[mxn]+B[mxm] D[mxn]=D’[mxn]+C[mxn], аналогично для P[mxn] Б)d’ij= aij+bij; dij=d’ij+cij= (aij+bij) +cij p’ij= bij+aij; pij=p’ij+aij= aij+(bij +cij) Для чисел aij, bij, cij справедливо равенство (aij+bij) +cij = aij+(bij +cij) →pij=dij→P=В 3. Нейтральный элемент относительно сложения Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А А) Размерности совпадают Б) Θij+aij=aij+Θij→ Θij=0 II. Вычитание С=A-B, если А=В+С cij=aij-bij Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0. Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0 О= 2. II. Умножение матрицы на число С=k*A, если 1) сij=kaij 2) размерности совпадают Свойства операции 1. k(A+B)=kA+kB 2. (k+n)A=kA+nA 3. (kn)A=k(nA)=n(kA) 4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей A-B=A+(-1)B 3. IV. Транспонирование матриц A= C[mxn]=(A[mxn])т, если сij=aji Свойства 1. (A+B)т=Ат+Вт 2. (nA)т=nAт Доказательствo: С=Ат, если cij=aji B=nA, C=Bт (слева) D=Aт, P=nD (справа) А) Размерности B=nA C=Bт, D=Aт, P=nD б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом bij=naij (слева) dji=aij,pji=ndji=naij →pji=cji→B=C 3. (Ат)т=А 4. V. Произведение матриц A[mxn]*B[nxr]=C[mxr] Согласованные матрицы -матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2 Если А и В согласованны то В и А не всегда С называется произведением A*B, если 1. C[mxn] =A[mxr]*B[rxn] 2. сij= Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В. Свойства 1. AB≠BA 2. (AB)C=A(BC) (без док) 3. A(B+C)=AB+AC 4. n(AB)=A(nB) 5. (AB)т=ВтАт VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е) AE=A=EA Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.
Eij=1, при i=j VII. Умножение на нулевую матрицу A[mxn] Θ[nxr]= Θ[mxr] 5. VIII. Возведение матрицы в степень (A[mxn])k=AAAAAA…(k раз) 6. Квадратная матрица – матрица у которой i=j. Определитель матрицы – число. Порядок определителя - количество строк или столбцов. Теорема разложения. Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения. 7. D3=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31a22a13 – a32a23a11 – a21a12a33 Вывод правила треугольников. 8. Свойства определителя n-го порядка 1. Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак. 2. Если есть нулевая строка, то определитель равен 0. 3. Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число. 4. Определитель 5. det(AB)=detA*debt(без док) 6. 9. Обратные матрицы Матрица А-1 называется обратной для А, если А-1А=АА-1=Е→А – квадратная матрица. Вырожденная матрица – матрица определитель которой равен 0 Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А-1. Доказательство: Пусть А[nxn]= AA-1=E A(1/Δn*Sт)=E (1/Δn)* Доказательство единственности: Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А.. A-1 и В А-1А=АА-1=Е BA=AB=E (1-2) А-1А-BA= АА-1-AB=E-E A(A-1-B)=A(A-1-B)=0 A-1-B=0 => (a-1)ij=bij => A-1=B. 10. Матричные уравнения A-1|AX=В→ EX=A-1B→ X=A-1B A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных. 11. Системы n уравнений X=A-1B= 12. Формула Крамера.
Теорема Крамера. Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера. 13. Минор матрицы Ранг матрицы 1. Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0
2. Элементы S1, S2…Sn называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n1, n2…nn такой что n1S1+n2S2+…+nnSn=0 и хотя бы одно из чисел ni≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы. 14. Теорема Кронехера-Копелли Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем: 1. если rA=rÂ=n – 1 решение. 2. если rA=rÂ<n - ∞ решений. 3. если rA≠rÂ≤n - нет решений. 16. Совместная система – система, имеющая хотя бы 1 решение. Решение системы – набор чисел такой, что при подстановке в систему каждое уравнение превращает в равенство. Общее решение – решение из которого можно получить все частные решения 1. Все неизвестные выражаются через 1 параметр (кол-во неизвестных = n-rA) 2. Все базисные неизвестные выражаются через свободные члены. Свободное неизвестное – неизвестное в ответе, остальные – базисные Алгоритм Гаусса 1. Найти ai1≠0 и поставить на первое место 2. S1→S1:a11 3. Si→Si-ai1S1, где i=2,3...m 4. Ищем aj2≠0(j≠1) и т.д. если aj2=0 при любом j=2…m, то ищем aj3≠0 (j≠1). 18. 19. 2. Умножение вектора на число
Свойства 1. 2. 3. 4. Орт вектора – единичный вектор сонаправленный с данным вектором. 20. Ось – прямая с заданным направлением. Проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось. ПрeAB=|AB| или -|AB| Свойства проекции. 1. ПреAB=|AB|cosA Доказательство: 1.A-острый Из треуг. ABB’’: |AB’’| =|AB|cosA
=>|D’C’|=-|DC|cosA 2. ПреAB+ПреВС=Пре(АВ+ВС) Доказательство: 1.А1-угол между AB и e A2 – угол между ВС и е острые ПреАВ=|А’В’| ПреВС=|В’С’ | Пре(АВ+ВС)=|В’С’|+|А’В’| =|A’C’| 2.А1- острый A2 – тупой ПреАВ=|А’В’| ПреВС=-|В’С’ | Пре(АВ+ВС)=|В’С’|-|А’В’| =|A’C’| 3.k*Прea=Преka Доказательство: 1. K>0 => ka||a => угол не меняется Преа=|a|cosA Преka=|ka|cosA=|k|Преа 2. K<0 => угол между ka и e =Pi-A Прeka=|ka|cos(Pi-A)=|k||a|(-cosA)=-|k||a|cosA=kПрea 21. ab=|a||b|cosA Свойства 1. Преа=|a|cosA=ab/|b| Праb=|b|cosA =>ab/|a| => ab=|b|Прba=|a|Праb 2. a(b+c)=ab+ac Доказательство: ab=|a|Прab ac=|a|Прас Пра(b+c)=Праb +Прас =>|a|Pra(b+c)=|a|Prab+|a|Praс => a(b+c)=ab+ac 3. (na)b=a(nb)=n(ab) Доказательство: a(nb)=|a|Prabn=|a|nPrab=n(ab) 4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот. Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90o => cosA=0, то ab=0 5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением. Aa=|a||a|=|a|2=> |a|= 22. c=axb, если 1. |c|=|a||b|sinA 2. c┴a c┴и 3. a b с образуют первую тройку векторов Свойства 1. геометрический смысл S=axb 2. axb=-bxa 3. ax(b+c)=axb+cxa 4. Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb) 23. Смешанное произведение векторов C(axb)=a(bxc)=abc V=abc 24. Теорема. Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы. Доказательство: По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0 1. a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l1=1, l2=-k 2. а=0, тогда l1=1, l2=0 – ЛЗ Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот. Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90o => cosA=0, то ab=0 3 вектора компланарны если лежат в одной плоскости т.е. их смешанное произведение равно 0. 25. Векторы a1 a2…an называются ЛЗ если существуют n1 n2…nn, где хотя бы одно ni≠0, что n1a1+n2a2+…+annn=0, если это условие выполняется при всех n=0 то векторы ЛНЗ
Базисом в некотором пространстве называется набор из n ЛНЗ векторов a1 a2…an, такой что любой вектор b из этого пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов т.к. существуют числа n1 n2…nn b=n1a1 +n2a2+…+nnan 26. Теорема. Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы. Доказательство: По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0 3. a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l1=1, l2=-k 4. а=0, тогда l1=1, l2=0 – ЛЗ В соответствии с этой теоремой получаем что если вектора неколлинеарны то они ЛНЗ. 28. 32. axb= 38. Общее уравнение Ax+By+Cz+D=0 39. Пересечения с осями Ox- x=-D/A Oy- y=-D/B Oz- z=-D/C ABC-наклон D-сдвиг 1. D=0 Проходит через н.к. 2. A=0 Не пересекает ох 3. А=0, Д=0 Плоскость проходит через ox 4. A=0, B=0 плоскость параллельна плоскости Oxy 40. 42. 43. 46. 47. Прямая на пересечении 2 плоскостей.
48. 49. 1. l1||l2 если S1||S2 => 2.. l1┴l2 если S1┴S2 =>S1S2=0 =>m1m2+n1n2+p1p2 Угол между прямыми cosA = Направляющие косинусы прямой – косинусы направляющего вектора. 50. 51. 52. Проекция точки на плоскость α: Ax+By+Cz+D=0 l: x=x*+At y=y*+Bt z=z*+Ct подставляем в α: и получаем Проекция точки на прямую l: l ┴α: m(x-x*)+n(y-y*)+p(z-z*)=0 x=x*+At y=y*+Bt z=z*+Ct 53. I способ 1. Найти две точки на прямой А и В 2. Найти проекцию этих точек на плоскость А’ и B’ 3. Провести l’ через A’B’ l: II способ Nb=NaxS={A1,B1,C1} β: A1x+B1y+C1z+D1=0 x=x*+At y=y*+Bt z=z*+Ct S1=NaxNb 55, 57. 1. Каноническое уравнение 2. Параметрическое уравнение x=x0+mt y=y0+nt 3. Общее уравнение Ax+By+C=0 4. с угловым коэффициентом y=kx+b 58. 1. l1||l2 если S1||S2 => 2. l1┴l2 если S1S2=0=> A1A2+B1B2=0 59.
Угол между 2 прямыми 60. Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Если r – радиус окружности, C(a, b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид |M0M|=R
61. Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксируемых точек (фокусов) есть величина постоянная (ее обозначают через 2 a), большая расстояния между фокусами. |F1F2|=2c |MF1|+|MF2|=2a где a – большая, b – малая полуось эллипса, причем a, b, c связаны соотношением a 2 = b 2 + c 2.
Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом e =
Расстояния некоторой точки M(x, y) эллипса от фокусов (фокальные расстояния) определяются формулами r1 = a + ex и r1 = a – ex. В силу определения эллипса для любой его точки r1 + r2 = 2 a. Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями x = ± 62. Гипербола есть геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина (ее обозначают через 2 а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точках F1 (-c, 0) и F2(c, 0) (рис. 3.3.2), то получим каноническое уравнение гиперболы
где a – действительная, b – мнимая полуось.
Рис. 3.3.2
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. На этих прямых лежат диагонали характеристического прямоугольника, основание которого равно 2 а, высота 2b, а центр находиться в начале координат. Отношение Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями Фокальные радиусы правой ветви гиперболы r1=ex–a, r2=ex+a. Очевидно, r2 – r1=2a. Фокальные радиусы левой ветви гиперболы r1 =- ex+a, r2=-ex – a. Очевидно, r1 – r2 = 2a. Асимптота – прямая к которой график функций приближается очень близко, при больших значениях x и y. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Сопряженная гипербола 63. Парабола есть геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от фокуса) и директрисы. Если директрисой параболы является прямая y2 = 2px.
Рис. 3.3.3
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. При p>0 парабола обращается в положительную сторону оси, а при p<0 – в отрицательную. Фокальный радиус вычисляется по формуле
q= |MM’|= Каноническое уравнение параболы y2=2px А)
б)
в) y2=2px – парабола ось симметрии 0x x2=2py - парабола ось симметрии 0y y2=zp p=0=> ось ox p<0 нет Равенство матриц А=В, если 1. А[mxn]=B[mxn] 2. aij=bij Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны Операции над матрицами I. Сложение С[mxn]= А[mxn]+B[mxn], если сij= aij+bij Свойства сложения матриц 1. Коммутативность (переместительный закон) А+В=В+А Доказательствo: Пусть С[mxn]=А[mxn]+B[mxn], D[mxn]=B[mxn]+A[mxn], А) Размерности С и В совпадают Б) сij= aij+bij, по определению dij= bij+aij, но т.к. aij и bij – числа, то aij+bij= bij+aij→ cij=dij→C=В 2. Ассоциативность (Сочетательный закон) (A+B)+C=A+(B+C) Доказательствo: D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’ А) Размерность D’[mxn]=A[mxn]+B[mxm] D[mxn]=D’[mxn]+C[mxn], аналогично для P[mxn] Б)d’ij= aij+bij; dij=d’ij+cij= (aij+bij) +cij p’ij= bij+aij; pij=p’ij+aij= aij+(bij +cij) Для чисел aij, bij, cij справедливо равенство (aij+bij) +cij = aij+(bij +cij) →pij=dij→P=В 3. Нейтральный элемент относительно сложения Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А А) Размерности совпадают Б) Θij+aij=aij+Θij→ Θij=0
II. Вычитание С=A-B, если А=В+С cij=aij-bij Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0. Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0 О= 2. II. Умножение матрицы на число С=k*A, если 1) сij=kaij 2) размерности совпадают Свойства операции 1. k(A+B)=kA+kB 2. (k+n)A=kA+nA 3. (kn)A=k(nA)=n(kA) 4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей A-B=A+(-1)B 3. IV. Транспонирование матриц A= C[mxn]=(A[mxn])т, если сij=aji Свойства 1. (A+B)т=Ат+Вт 2. (nA)т=nAт Доказательствo: С=Ат, если cij=aji B=nA, C=Bт (слева) D=Aт, P=nD (справа) А) Размерности B=nA C=Bт, D=Aт, P=nD б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом bij=naij (слева) dji=aij,pji=ndji=naij →pji=cji→B=C 3. (Ат)т=А 4. V. Произведение матриц A[mxn]*B[nxr]=C[mxr] Согласованные матрицы -матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2 Если А и В согласованны то В и А не всегда С называется произведением A*B, если 1. C[mxn] =A[mxr]*B[rxn] 2. сij= Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В. Свойства 1. AB≠BA 2. (AB)C=A(BC) (без док) 3. A(B+C)=AB+AC 4. n(AB)=A(nB) 5. (AB)т=ВтАт
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; просмотров: 170; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.130.139 (0.231 с.) |