График линейного уравнения с двумя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными легко решается, если мы задаем пару значений для переменных. Это происходит в связи с тем, что при подстановке уравнение без значения является многочленом, и мы получаем это формулой. Если уравнение с двумя переменными имело значение и получили пару значений для переменных, то в этом случае мы узнаем, подходит эта пара или нет. Но имеется и третий вариант. Мы выражаем одну переменную через другую и получаем формулу:

3x+2y = 6; y = - 1,5x+3.

Этой формулой задается линейная функция (зависимость y от x). Если мы зададим переменную x=0, то получим значение y=3. Это будет первая пара (0;3).Зададим значение y-0, получим x=2. Это будет вторая пара. Построим систему координат.

y

 

2 x

 

 

Рис. №7.

 

Найдем первую точку, а затем вторую. Проведем прямую. Получим график уравнения 3x+2y = 6; и он же график функции y = - 1,5x+3. Они равносильны.

Контрольно обучающая программа №48.

 

 

 

Найти пары переменных для построения графиков уравнений.

1. 2y-x = 6; (0; 6); (-6;0); 2. 4y-x = 0; (0; 0); (-1; 4)

3. x-y = 4; (0; 0); (-1; 0); 4. 3x-y = 4; (0; 4); (; 0)

5. 2(x-y) + 3y = 4; (0; 2); (2; 0); 6. (x + y) + (x + y) = 4; (0; 2) (2; 0)

7. 8x-12y = 20 (0; ); (4; 0)

8. 15y = 150; y = 10; (5; 10)

2x = 10; x= 5;

6x = 12; x = 2; (3; 2)

5y = 15; y = 3;

9. 6x+y = 12; (0; 12); (2; 0)

10. 2x+ y= 6; (0; 6); (3; 0)

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Мы изучили линейные уравнения с двумя переменными и их графиками. При решении этих уравнений мы получили две пары значений переменных, по которым можем построить график в Декартовой Системе координат. Графиком уравнения является прямая. Координаты любой точки прямой являются решением уравнения. Формулы, по которым мы определяем координаты, являются функциями. Формула функции имеет специфический вид, например: y=-1,5x+3.Коэффициент перед «x» определяет угол наклона графика, а свободный член – смещение прямой от начала координат. Линейная формула, функция, уравнение говорит о том, что эта алгебраическая зависимость описывает линейные процессы и принадлежит Эвклидовским математическим Началам, которые в свою очередь описывают линейную геометрию, которую он создал две тысячи лет до нашей эры. Кривизна такой геометрии равна нулю. Изучая физику, мы встретимся с прямолинейным движением тел, заряженных частиц, лучей света и эти же алгебраические законы будут описывать эти явления. Декарт в тысяча шестисотых годах нашей эры осуществил связь алгебры с геометрией. Мы предлагаем таблицу (см. таб. №), где установлена связь между алгеброй, геометрией и законами физики. Системы линейных уравнений, это традиционная форма взаимодействия алгебраических выражений, но уже с выходом на визуальный вид их взаимодействия, т.е. взаимодействие графиков. В системе может быть два, три, и более уравнений. Например:

3x + 2y = 5; x - 3y = -9

Точка пересечения графиков уравнений – решение системы. Преобразуем уравнения системы в функции и найдем корни (см. рис. №).

 

y

 

 

9 0 2 x

 

 

Рис. №8.

3x-2y = 6; y = -2x+3; (0; 3) (2; 0); x -3y = -9; y = x+3; (0; 2) (-9; 0)

Корни мы определяем самым простым способом. Находим точки пересечения их с осями координат. По анализу функций можно определить, что если коэффициенты перед «x» не равны, следовательно, графики пересекаются. Точка пересечения является корнем.

Если коэффициенты равны, графики параллельны.

Если коэффициенты и свободные члены равны. Графики совпадают.

Контрольно обучающая программа №49.

 

 

 

 

1. Является ли значение решением уравнений и системы?

x+y=5 а) x=3; y=1

2x-y=6 б) x=2; y=2

 

2. Является ли значение делением системы?

3U+V=23 а) U=3

7U-2V=8 б) V=-1

 

3. Являются ли значения решением системы?

V+2U=1 a) U=3; V=-1

U+2V=5

 

4. Имеет ли система решение?

x = y-7 y = x+7

3x+4y = 0 y = - x

5.

x - y = 1 y = x+1

x+3y = 9 y = - x+3

6. Имеет ли система (5) множество решений?

7. Не имеет ли системы (5) вообще решений?

8. Имеет ли система решение?

X+y=0

-3x+4y=14

Мысленно подбирайте функции и определите результат!

Сколько решений имеет система?

x -2y = 6

3x+2y = -6

9. Одно 10. Два[1]

Системы решения линейных уравнений.

1. Способы подстановки.

Решим систему уравнений:

x+3y = 5

xy = z

Выразим х через у первого уравнения:

X = 5-3y

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

(5-3y)y = 2

Решим это уравнение

5y- = 2; -5y-2 = 0; = 1; = ;

Подставим поочередно каждое из найденных значений у в уравнение:

x = 5-3y, если у = 1 то х = 5 - 3*1 = 2

Если х = то х = 5 - 3 = 3

Пары (2; 1) и (3; )

2) Способ сложения.

Решим систему уравнений:

5x+11y = 8

10x-7 = 74

Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при х в уравнениях были противоположным числами:

-10х-22у = -16

10-7у = 74

Получим уравнение с одной переменной:

-29у=58

Находим у=-2.Подставим во второе уравнение -2 найдем х

10х-7(-2)=74; x=0