Проективная прямая. Проективная система координат в евклидовом пространстве.

Опр. Пучком на Евклидовой плоскости называется множество всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку S. S – центр пучка, пучок обозначается .

Отображение называется перспективным отображением прямой d в пучок .

Расширенная черта – Евклидова прямая, дополненная несобственной точкой

будем называть несобственной точкой расширенной прямой.

Опр: Мн-во P1 наз. проективной прямой, если существует биективное отображение множества на пучок прямых. Элементы мн-ва Р1 наз. точками проективной прямой.

Т1: Пучок прямых на плоскости является проективной прямой. Док-во: Рассмотрим отображение , которое каждой прямой пучка ставит в соответствие эту же прямую. Это тождественное отображение является биективным. По определению пучок – проективная прямая ■

Т2: Расширенная прямая – проективная прямая. Док-во: Рассм. перспективное отображение расширенной прямой на пучок . Так как явл. биективным отображением, то и расширенная прямая (по опр. проективной прямой) является проективной прямой. ■

Опр: Пусть дан пучок . Проективной прямой в пучке назыв. упорядоченная тройка прямых .

Опр: Аффинная система координат назыв. согласованной с проективной системой координат, если - направляющие вектора прямых соответственно и выполняется условие . Пусть SM – произвольная прямая пучка. Проективными координатами прямой SM в проективной системе координат – R наз. класс упорядоченных пар чисел, пропорциональных паре , где - координаты направляющего вектора прямой SM в согласованной аффинной системе координат. . Пишут:

Т1: Определение проективных координат точки не зависит от выбора направляющего вектора.

Т2: Определение проективных координат прямой в пучке не зависит от выбора аффинной системы координат, согласованной с проективной системой координат.

Т3: Каковы бы ни были три различные точки Е₁ Е₂, Е₀ проективной прямой, существует единственная система проективных координат, в которой эти точки имеют координаты Е₁ (1: 0), Е₂(0: 1), Е₀(1: 1).

 

22. Простае алгабраічнае пашырэнне поля. Вызваленне ад алгебраічнай ірацыянальнасці ў назоўніку дробу.

Опред. число , кот явл корнем нек-го полинома над полем наз. Алгебраичным над этим полем, по-другому трансциндентный над .

Пр. 1 – алгебр. число, т.к явл корнем полинома .

Опред. Неприводимый полином над полем со старшим коэф-том =1(унитарный), корнем кот явл число наз. Миним полиномом числа.

Опред. Степенью миним полинома наз. Степень алгебраич числа .

Пр.2 явл корнем полинома (непривод полином миним).

Опред. Пусть – поле, – его подполе . Поле наз. расширением поля . Пусть – поле, – некоторое число, обоз .

Опред. Расширение поля – алгебраичное, когда каждый эл-т в этом расширении алгебраичный.

Опред. , Î - алгебр. над Þ расширение назыв. простым алгебр. расширением.

Избавление от иррац в числителе.

Т. - простое алгебраич расширение,тогда = .

□ по опред , где и – полиномы над полем , ( – алг. число). Þ (по св-ву. , Î - алгебр. над , – миним полином алгебраич числа , Î [x] ) - мин. Полином алг. числа . Тода и – взаимнопростые полиномы Þ $ u(х), v(х) Î [x]

Значит д-ли, что . Д-жем, что и .

Единственность. Полином с этими св-вами ед.

Допустим, что еще 1 полином степени такой,что . Рассм полином . Когда , то это полином степени , корнем кот явл число . ■

 

23. Простыя лікі. Бясконцасць мноства простых лікаў. Кананічны раскладсастаўнога ліку і яго адзінасць.

Определение. Натурал. число p>1 наз. простым, если оно делится только на 1 и себя (др. натур. Делителей нет; др. полож. целых делителей не имеет).

Определение. Натур. число наз. составным, если оно имеет делители кроме 1 и себя. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Теорема Евклида: множество простых чисел бесконечно.

Док-во от противного: Пусть мн-во простых чисел конечно, т.е. p₁,p₂,…,p_n. Рассмотрим число p=p₁p₂….p_n+1. По св-ву 1(каждое натур. число n>1 имеет хотя бы 1 простой делитель) число p имеет простой делитель; обозначим его q.

. Ч.т.д.

Теорема.: Каждое натуральное число >1 раскладывается в произведение простых чисел. Такое разложение единственное с точностью до порядка следования сомножителей. Док-во:1. Существование. ММИ по n. 1) n=2, 2=2. 2) допустим, что произвольное натуральное число < n раскладывается на простые множители. 3) докажем, что n раскладывается на простые множители. По св-ву (каждое натур. число n>1 имеет хотя бы 1 простой делитель) n имеет хотя бы 1 простой делитель p₁ и тогда мы n можем записать n=p₁n₁, n₁<n. Возможны 2 случая: 1) n₁=1, n=p₁. 2) n₁>1, то по предположению следующие n₁=p₂p₃…p_k – произведение простых чисел, тогда наши n в этом случае равно n=p₁p₂p₃…p_k 2. Единственность ММИ по n. 1)n=2; 2) пусть единственность имеет место для любого натурального числа <n. 3) докажем для n (от противного). Пусть n с одной стороны n=p₁p₂….p_n. Или n=q₁q₂…q_s… Тогда p₁p₂…p_k=q₁q₂…q_s. Левая часть рав-ва делится на p₁, значит, и правая часть делится на p₁. Следовательно, одни из сомножителей q₁,q₂,…,q_s совпадает с p₁. Без ограничения общности можем считать, что p₁=q₁. Раз p₁=q₁, сократим на p₁. Получим p₂…p_k=q₂….q_s. (p2…pk)<n, поэтому по предположению индукции такое представление единственное. Значит k=s и простые числа q₂…q_s отличаются от простых чисел только порядком следования. Ч.т.д.

Опр.: представление натурального в виде , где разные простые числа, называется каноническим представлением (каноническим разложения числа ).

Опр.: каноническим разложением целого числа на простые множители называется представление числа в виде .

 

24. Рауназначныя сістэмы лінейных раўнанняў. Рашэнне сістэмыліненных раўнанняў метадам паслядоўнага выключення невядомых. Крытэрыі супольнасци сістэмы лінейных раўнанняў.

(1) – поле.

– м-ца системы, – расшир-ая м-ца с-мы.

Опр.Расширение с-мы наз. с-ма чисел когда при подстановке все равенства выполняются.

Опр. Когда с-ма имеет решения, то она наз. совместной, когда не, то несовместной.

Опр. Совместная с-ма наз. определенной, когда имеет только 1 решение, когда больше, то неопределенной.

Опр. 2 с-мы наз. эквивалентными, когда мн-ва их решений совпадают (мн-ва м. б. и пустые).

Элем. преобразования с-мы: 1) Смена местами уравнений с-мы, 2) умножение 2-х частей уравнения на число , 3) добавление к одному уравнению с-мы 2-го уравнения, умноженного на число.

Решение системы линейных уравнений методом последовательного выделения неизвестных (м-д Гауса).

1) Выписать расширенн-ю м-цу. 2) С помощью элем-х преобразований строк привести ее к ступенчатого вида. 3) Определить ранг м-цы А и ранг поширен-й м-цы. а) когда они не ровны, то с-ма несовместимая (нет реш.), б) когда ровны, то с-ма совместимая.

4) Найти базисный минор м-цы с-мы; неизвестные, которым соответствуют столбцы базисного минора будут базисными неизвестными, остальные - свободными.

(1) , то все неизвечные – базисные и с-ма имеет ед. решение (м. найти с пощ. ф-л Крамера: ).

(2) , то с-ма имеет бесконечно много реш. Для их нахождения с-му записываем т. образ., чтоб в левой часте каждого ур. остальсь только базисные неизвестные. Далее базисные неиз-ыя м. выявить через свободные, напр., с помщ. ф-л Крамера, т. обр. получится общее реш. исходной с-мы. Частное реш. м. получить, когда придать свободным неизвестным конкретные числовые значения

Теор. Кронекера-Капэли (критерий совместимости с-мы лин. уравн): система лин-х уравнений имеет решение т. и т. т., когда ранги матрицы коэффицентов и расширенной матрицы с-мы равны.

Опр. Ранг матрицы – это кол-во столбцов у МЛНП с-мы столбцов

Опр. А = , k min{m,n}. Выделим в А k рядов и k столбцов. Эл-ты матрицы А, которые стат на пересечении этих k рядов і k столбцов, образуют матриц размерности , дэтерминант которой наз. минором k-го порядка матрицы А.

25. Сістэма аксіём Вейля трохмернай эўклідавай прасторы і яе несупярэчлівасць.

При построении аксиоматики Вейля основными объектами являются «точка» и «вектор». Основные отношения аксиоматики Вейля: мн-во точек Е³: А, В, С… мн-во векторов V: a,b,c,d…

1.Сложение векторов

Для любой упорядоченной пары векторов ставится в соответствие третий вектор, который обозначается + ϵV

2.Произведение векторов на действительное число

Для любого вектора и действительного числа αставится в соответствие вектор, который обозначается α .

3.Соотношение точек и векторов

Каждой упорядоченной паре точек ставится в соответствие некоторый вектор, который обозначается ϵV

4.Отношение скалярного произведения

Упорядоченной паре векторов ставится в соответствие некоторое число, которое обозначается и называется скалярным произведением.

I.Аксиомы векторного пространства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

II.Аксиомы размерности: 1) 2)

III.Аксиомы соответствия векторов и точек: 1)для любой точки Аϵ Е³ и любого вектора m ϵV существует единственная точка ВϵЕ³ , такая что =m. 2) для любых точек А,В,С выполняется условие + =

IV.Аксиомы скалярного произведения: 1) 2)для любых векторов а,в,с + = + 3) αϵR, (α ) =α() 4) >0

Теорема. Аксиоматика Вейля трехмерного пространства непротиворечива (если непротиворечива арифметика действительных чисел).

Док-во: для доказательства построим модель аксиоматики. «Точка» - упорядоченная тройка действительных чисел А=(а1,а2,а3). «Вектор» - столбец из трех действительных чисел b= .сумма векторов а= и b= есть вектор + = . Произведение вектора а= на число α есть α = . Паре точек А=(а1,а2,а3) и B=(b1,b2,b3) соответствует вектор = . Скалярным произведением векторов а и b назовем число =а₁b₁+a₂b₂+a₃b₃. Можно показать, что выполняются все аксиомы аксиоматики Вейля.

Покажем это.

…(подставить эти значения во все аксиомы).