Обобщенные координаты; число степеней свободы системы.

Обобщенные координаты – это S независимых параметров любой размерности, однозначно определяющих положение системы в пространстве.

S = 3n – h (n-кол-во матер. точек, h-число голономн. связей)

Число степеней свободы - это число независимых вариаций координат , однозначно определяющих положение системы в пространстве.

(m – число неголомных связей)

У свободного тела шесть степеней свободы.

 

Действительное и возможное перемещения при стационарных и нестационарных связях

- возможное (виртуальное) перемещение – малое, мысленное перемещение, допускаемое связями с точностью до величин первого порядка малости.

Если в уравнение связи время не входит явно, то такая связь называется стационарной (склерономной):

Если в уравнение связи время входит явно, то такая связь называется нестационарной (реономная):

При стационарных связях действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни с одним из возможных перемещений.

Виртуальные перемещения - возможные перемещения материальных точек системы, допускаемые мгновенно (в момент t) связями, из одной точки по разным траекториям в один и тот же момент времени.

, u=1,2,…,n; i=1,2,…,n

зависит только от связей.

Действительное перемещение материальных точек системы есть возможное перемещение, определяемое связями и уравнениями движения

зависит от связей и от сил.

а возможное перемещение только от связей.

 

Устойчивость состояний равновесия: теорема Лагранжа – Дирихле, принцип Торичелли, теорема Ляпунова

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Теорема Лагранжа – Дирихле: При устойчивом равновесии системы ее потенциальная энергия принимает миним. значение

Ограничения: 1) Силы потенциальны

2) Связи голономны, идеальны, стационарны

Принцип Торичелли: При устойчивом равновесии системы ее центр тяжести занимает наинизшее положение.

Ограничения: 1) Силы – силы тяжести

2) Связи идеальны, голономны, стационарны

Теорема Ляпунова:

Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии системы обнаруживается уже по членам второго порядка в разложении в ряд Тейлора

 

Обобщенные силы

К понятию обобщенные силы приводят преобразование элементарной работы сил и выражают через обобщенные координаты. (1)

Три способа вычисления обобщенных сил:

1. На основе (1):

2. Задается

Множитель Q при изменении обобщенной координаты

В выражении для виртуальной работы активных сил системы наз. обобщенной силой, соответствующей начальной координате

3. Для потенциальных сил.

Обобщенная сила в консервативной системе равна частичной производной потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, взятой с обратным знаком.

Условия равновесия в обобщенных координатах.

Согласно принципу возможных перемещений .

(2)

, Т.к. , то (3)

Одно вариационное выражение (2) эквивалентно «S» алгебраическим уравнениям (3).

Для равновесия голономных систем необходимо и достаточно, чтобы все вариационные системы были равны нулю.

Частный случай: для потенциальных сил:

 

Устойчивость состояний равновесия: критерий Сильвестра

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Критерий Сильвестра:

Система находится в положении устойчивого равновесия, если квадратичная формула потенциальной энергии этой системы положительна, что возможно в том случае, если все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы и положительны.

 

Общее уравнение динамики

(1) – общее уравнение динамики

Уравнение (1) запишем в виде:

- общее уравнение динамики – принцип Доломбера - Лагранжа:

При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.